Номер 1469, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1469, страница 419.

Условие.

1469 Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y = x^2$ и $y = x + 6;$

2) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4 (x + 1);$

3) $y = \frac{1}{8} x^2$ и $y = \frac{1}{x};$

4) $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$, нужно найти, существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ для обеих функций совпадают. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = x + 6$
Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$
Для определения наличия действительных корней найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Поскольку дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют две точки, в которых графики функций пересекаются.
Ответ: да, пересекаются.

2) Для функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$ приравняем их правые части. Заметим, что для первой функции $x \neq 0$.
$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$
$\frac{3}{x} = 4x + 4$
Умножим обе части уравнения на $x$, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:
$3 = x(4x + 4)$
$3 = 4x^2 + 4x$
Приведём уравнение к стандартному виду:
$4x^2 + 4x - 3 = 0$
Вычислим дискриминант, где $a=4$, $b=4$, $c=-3$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Так как дискриминант $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые не равны нулю. Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.
Ответ: да, пересекаются.

3) Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$, приравняем их правые части. Область определения второй функции требует, чтобы $x \neq 0$.
$\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $8x$ (так как $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$x \cdot x^2 = 8 \cdot 1$
$x^3 = 8$
Это кубическое уравнение имеет один действительный корень:
$x = \sqrt[3]{8} = 2$
Поскольку существует действительное решение, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: да, пересекаются.

4) Для функций $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$ приравняем их правые части. Область определения второй функции: $x \neq 0$.
$2x - 1 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):
$x(2x - 1) = 1$
$2x^2 - x = 1$
Запишем уравнение в стандартном виде:
$2x^2 - x - 1 = 0$
Вычислим дискриминант, где $a=2$, $b=-1$, $c=-1$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
Так как дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые не равны нулю. Это значит, что графики данных функций пересекаются.
Ответ: да, пересекаются.