Номер 1475, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1475, страница 420.

Условие.

1475 Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график:

1) $y=-x^4+4x^2-5$;

2) $y=x^3-4x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = -x^4 + 4x^2 - 5$

Исследование на чётность и нечётность:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$: $y(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = -x^4 + 4x^2 - 5$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Построение графика:

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -0^4 + 4(0)^2 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $-x^4 + 4x^2 - 5 = 0$. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $-t^2 + 4t - 5 = 0$, или $t^2 - 4t + 5 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $t$. Следовательно, график функции не пересекает ось OX.

2. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную функции: $y' = (-x^4 + 4x^2 - 5)' = -4x^3 + 8x$. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $-4x^3 + 8x = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -\sqrt{2})$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает. - На интервале $(-\sqrt{2}; 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает. - На интервале $(0; \sqrt{2})$ производная $y' > 0$, функция возрастает. - На интервале $(\sqrt{2}; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$. В точке $x = 0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = -5$. В точке $x = \sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Таким образом, точки экстремума: $(-\sqrt{2}, -1)$ — максимум, $(0, -5)$ — минимум, $(\sqrt{2}, -1)$ — максимум.

3. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 8x)' = -12x^2 + 8$. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $-12x^2+8=0 \implies x^2 = 8/12 = 2/3 \implies x = \pm\sqrt{2/3} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
- На интервале $(-\infty, -\sqrt{2/3})$ $y'' < 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вверх). - На интервале $(-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$ $y'' > 0$, график функции является выпуклым (выпуклым вниз). - На интервале $(\sqrt{2/3}, \infty)$ $y'' < 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вверх). Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. Найдем ординаты этих точек: $y(\pm\sqrt{2/3}) = -(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) - 5 = -\frac{4}{9} + \frac{8}{3} - 5 = \frac{-4+24-45}{9} = -\frac{25}{9}$. Точки перегиба: $(\pm\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{25}{9})$.

4. Сводная таблица и построение графика:
На основе проведенного анализа строим график. Он симметричен относительно оси OY, имеет два максимума в точках $(-\sqrt{2}, -1)$ и $(\sqrt{2}, -1)$ и минимум в точке $(0, -5)$. Весь график расположен ниже оси OX.

Ответ: функция чётная. График функции представляет собой кривую, симметричную относительно оси OY, с точками максимума $(-\sqrt{2}, -1)$ и $(\sqrt{2}, -1)$, и точкой минимума $(0, -5)$.

2) $y = x^3 - 4x$

Исследование на чётность и нечётность:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$: $y(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -y(x)$. Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Это означает, что её график симметричен относительно начала координат.

Построение графика:

1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 4(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $x^3 - 4x = 0$. $x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0$. Точки пересечения с осью OX: $x=0$, $x=2$ и $x=-2$. Точки: $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

2. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2\sqrt{3}/3)$, $(-2\sqrt{3}/3; 2\sqrt{3}/3)$ и $(2\sqrt{3}/3; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2\sqrt{3}/3)$ производная $y' > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-2\sqrt{3}/3; 2\sqrt{3}/3)$ производная $y' < 0$, функция убывает. - На интервале $(2\sqrt{3}/3; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -2\sqrt{3}/3$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y_{max} = y(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{8}{3\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{-8+24}{3\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$. В точке $x = 2\sqrt{3}/3$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума. $y_{min} = y(\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8-24}{3\sqrt{3}} = -\frac{16}{3\sqrt{3}} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точки экстремума: $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ — максимум, $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$ — минимум.

3. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 4)' = 6x$. При $x=0$, $y''=0$.
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график вогнутый (выпуклый вверх). - При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый (выпуклый вниз). Точка $x=0$ является точкой перегиба. Координаты точки перегиба $(0, 0)$, что совпадает с началом координат.

4. Построение графика:
На основе проведенного анализа строим график. Он симметричен относительно начала координат. График приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2\sqrt{3}/3, 16\sqrt{3}/9)$, затем убывает до точки минимума $(2\sqrt{3}/3, -16\sqrt{3}/9)$ и далее возрастает до $+\infty$. График пересекает ось абсцисс в точках $(-2,0), (0,0)$ и $(2,0)$.

Ответ: функция нечётная. График функции — кривая, симметричная относительно начала координат, пересекающая ось OX в точках $(-2,0), (0,0), (2,0)$, с точкой максимума $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ и точкой минимума $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.