Номер 1474, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1474, страница 420.

Условие.

1474 1) $y = \cos 3x;$

2) $y = \sin \frac{x}{5};$

3) $y = \sin x + \operatorname{tg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти наименьший положительный период функции $y = \cos 3x$, необходимо использовать правило нахождения периода для функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$.

Основной (наименьший положительный) период функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.

Период $T$ функции $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае, для функции $y = \cos 3x$ коэффициент при $x$ равен $k=3$.

Подставляем значения в формулу: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

2) Найдем наименьший положительный период функции $y = \sin \frac{x}{5}$.

Основной период функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$.

Данную функцию можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{5}x)$, где коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{5}$.

Период $T$ функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Подставляем наши значения: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{5}} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

3) Рассматриваемая функция $y = \sin x + \text{tg } x$ является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \sin x$ и $f_2(x) = \text{tg } x$.

Чтобы найти период суммы, сначала найдем периоды каждого слагаемого.

Наименьший положительный период функции $f_1(x) = \sin x$ равен $T_1 = 2\pi$.

Наименьший положительный период функции $f_2(x) = \text{tg } x$ равен $T_2 = \pi$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Нам нужно найти НОК($T_1, T_2$), то есть НОК($2\pi, \pi$).

Наименьшее общее кратное для $2\pi$ и $\pi$ — это наименьшее положительное число, которое является целым кратным как $2\pi$, так и $\pi$. Ряд кратных для $2\pi$: $2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots$. Ряд кратных для $\pi$: $\pi, 2\pi, 3\pi, \dots$. Наименьшее общее число в этих рядах — это $2\pi$.

Область определения функции $y = \sin x + \text{tg } x$ определяется областью определения $\text{tg } x$, так как $\sin x$ определен для всех $x$. Функция $\text{tg } x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. Эти точки разрыва повторяются с периодом $\pi$. Найденный период $T=2\pi$ является кратным $\pi$ ($2\pi = 2 \cdot \pi$), поэтому он согласован с областью определения функции.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y = \sin x + \text{tg } x$ равен $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.