Номер 1467, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1467, страница 419.

Условие.

1467 Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$.

2) Доказать, что функция возрастает на отрезке $[1; 4]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$.

5) Записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы.
Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Координата $y$ вершины: $y_v = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Пересечения с осью OX (при $y=0$):
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Используем теорему Виета или решаем через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, -4)$ и точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -3)$. Через эти точки проводим плавную кривую — параболу.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$, нужно определить, на каких интервалах график функции находится ниже оси OX. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а точки пересечения с осью OX — $x = -1$ и $x = 3$, функция будет отрицательной между этими точками.

Ответ: $y(x) < 0$ при $x \in (-1, 3)$.

2) Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4].

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном отрезке, найдем её производную и определим её знак на этом отрезке. Если производная положительна, функция возрастает.

Функция: $y(x) = x^2 - 2x - 3$.

Производная функции: $y'(x) = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

Рассмотрим знак производной на отрезке $[1, 4]$.

Решим неравенство $y'(x) > 0$:

$2x - 2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Производная $y'(x)$ положительна для всех $x > 1$. На интервале $(1, 4]$, который является частью отрезка $[1, 4]$, производная строго положительна. В точке $x=1$ производная равна нулю: $y'(1) = 2(1) - 2 = 0$.

Поскольку производная функции неотрицательна ($y'(x) \geq 0$) на всем отрезке $[1, 4]$ и обращается в ноль лишь в одной точке ($x=1$), функция является возрастающей на этом отрезке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.

Функция $y = x^2 - 2x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$). Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Координата $x$ вершины была найдена в пункте 1): $x_v = 1$.

Таким образом, функция принимает наименьшее значение при $x=1$. Само наименьшее значение равно $y(1) = -4$.

Ответ: $x = 1$.

4) Найти значения x, при которых график функции y = x² - 2x - 3 лежит выше графика функции y = -2x + 1.

Условие "график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$" означает, что значения первой функции больше значений второй. Запишем это в виде неравенства:

$x^2 - 2x - 3 > -2x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 > 0$

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. График функции $f(x) = x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

5) Записать уравнение касательной к параболе y = x² - 2x - 3 в точке с абсциссой, равной 2.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^2 - 2x - 3$ и $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

Точка касания имеет координаты $(2, -3)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 2(x - 2)$

$y = -3 + 2x - 4$

$y = 2x - 7$

Ответ: $y = 2x - 7$.