Номер 1466, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1466, страница 419.

Условие.

1466 Построить график функции:

1) $y=2-|x|$;

2) $y=|2-x|$;

3) $y=|2-x|+|x-3|$.

Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую $y=3$. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2 - |x|$

Для построения графика функции раскроем модуль. По определению, $|x| = x$ при $x \geq 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. Таким образом, функцию можно представить в виде системы:
$y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } x \geq 0 \\ 2 - (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } x \geq 0 \\ 2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График состоит из двух лучей.
- Для $x \geq 0$ это часть прямой $y = -x + 2$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
- Для $x < 0$ это часть прямой $y = x + 2$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
Оба луча выходят из точки $(0, 2)$, образуя график, симметричный относительно оси Oy. График представляет собой "галочку", ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$. Максимальное значение функции равно 2.

Теперь выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Для этого решим уравнение:
$2 - |x| = 3$
$-|x| = 3 - 2$
$-|x| = 1$
$|x| = -1$
Данное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как модуль любого числа является неотрицательной величиной. Следовательно, график функции не пересекает прямую $y = 3$.

Ответ: График функции $y = 2 - |x|$ не пересекает прямую $y = 3$.

2) $y = |2 - x|$

Для построения графика функции заметим, что $|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$. График этой функции можно получить, сдвинув график функции $y = |x|$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Это "галочка", ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(2, 0)$.
Также можно раскрыть модуль по определению:
$y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } 2 - x \geq 0 \text{ (т.е. } x \leq 2\text{)} \\ -(2 - x), & \text{если } 2 - x < 0 \text{ (т.е. } x > 2\text{)} \end{cases} = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } x \leq 2 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$
График состоит из двух лучей с общей начальной точкой $(2, 0)$.

Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Решим уравнение:
$|2 - x| = 3$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $2 - x = 3 \implies -x = 1 \implies x = -1$
2) $2 - x = -3 \implies -x = -5 \implies x = 5$
Получили два значения $x$, следовательно, существуют две точки пересечения. Найдем их координаты, подставив $y=3$:
При $x = -1$, $y = 3$. Точка $(-1, 3)$.
При $x = 5$, $y = 3$. Точка $(5, 3)$.

Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.

3) $y = |2 - x| + |x - 3|$

Для построения графика воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=2$ и $x=3$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.
1. При $x < 2$: Выражение $2-x$ положительно, а $x-3$ отрицательно.
$|2-x| = 2-x$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
$y = (2 - x) + (3 - x) = 5 - 2x$.
2. При $2 \leq x < 3$: Выражение $2-x$ неположительно, а $x-3$ отрицательно.
$|2-x| = -(2-x) = x-2$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
$y = (x - 2) + (3 - x) = 1$.
3. При $x \geq 3$: Выражение $2-x$ отрицательно, а $x-3$ неотрицательно.
$|2-x| = -(2-x) = x-2$, $|x-3| = x-3$.
$y = (x - 2) + (x - 3) = 2x - 5$.
График представляет собой "корыто": он состоит из луча $y = 5 - 2x$ на $(-\infty, 2)$, горизонтального отрезка $y=1$ на $[2, 3]$, и луча $y=2x-5$ на $[3, +\infty)$. Минимальное значение функции равно 1.

Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Решим уравнение $|2 - x| + |x - 3| = 3$ на каждом из интервалов.
1. При $x < 2$:
$5 - 2x = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Условие $x < 2$ выполняется.
2. При $2 \leq x < 3$:
$1 = 3$. Уравнение не имеет решений на этом интервале.
3. При $x \geq 3$:
$2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Условие $x \geq 3$ выполняется.
Получили два решения: $x=1$ и $x=4$. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 3)$.

Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 3)$.