Номер 1464, страница 418 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1464, страница 418.

Условие.

... что функция $y = 2x - 3$ возрастает.

1464 Доказать, что функция $y = -\sqrt{3} x - 3$ убывает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция $y = -\sqrt{3}x - 3$ убывает, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Анализ углового коэффициента

Заданная функция $y = -\sqrt{3}x - 3$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – свободный член.

Для линейных функций характер монотонности (возрастание или убывание) зависит от знака углового коэффициента $k$:

• если $k > 0$, то функция возрастает;
• если $k < 0$, то функция убывает;
• если $k = 0$, то функция является постоянной.

В нашем случае, сравнивая $y = -\sqrt{3}x - 3$ с $y = kx + b$, мы видим, что угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 0$. Следовательно, $k = -\sqrt{3}$ является отрицательным числом, то есть $k < 0$.

Поскольку угловой коэффициент функции отрицателен, функция $y = -\sqrt{3}x - 3$ убывает на всей своей области определения (на множестве всех действительных чисел).

Способ 2: Доказательство по определению убывающей функции

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Областью определения функции $y = -\sqrt{3}x - 3$ является множество всех действительных чисел. Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$, такие что $x_2 > x_1$.

Найдем соответствующие значения функции:

$y_1 = f(x_1) = -\sqrt{3}x_1 - 3$

$y_2 = f(x_2) = -\sqrt{3}x_2 - 3$

Чтобы сравнить $y_1$ и $y_2$, найдем их разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (-\sqrt{3}x_2 - 3) - (-\sqrt{3}x_1 - 3)$

$y_2 - y_1 = -\sqrt{3}x_2 - 3 + \sqrt{3}x_1 + 3$

$y_2 - y_1 = -\sqrt{3}x_2 + \sqrt{3}x_1$

Вынесем общий множитель $-\sqrt{3}$ за скобки:

$y_2 - y_1 = -\sqrt{3}(x_2 - x_1)$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. По нашему первоначальному условию $x_2 > x_1$, значит, разность $(x_2 - x_1)$ является положительным числом. Число $-\sqrt{3}$ является отрицательным. Произведение отрицательного числа $(-\sqrt{3})$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ всегда отрицательно.

Таким образом, $y_2 - y_1 < 0$, что равносильно неравенству $y_2 < y_1$.

Мы показали, что для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$, что по определению означает, что функция $y = -\sqrt{3}x - 3$ является убывающей.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = -\sqrt{3}x - 3$ является убывающей на всей области определения, так как ее угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$ отрицателен, что и требовалось доказать.