Номер 1480, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1480, страница 420.

Условие.

1480 Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$. Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси $Oy$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$25 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 25$
$|x| \le 5$, что эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-5, 5]$.

2. Преобразуем уравнение функции. Так как по определению арифметического квадратного корня $y \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = 25 - x^2$
$x^2 + y^2 = 25$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

3. Построение графика. Учитывая, что $y \ge 0$, график функции представляет собой не всю окружность, а только ее верхнюю половину (полуокружность), расположенную над осью Ox.
Ключевые точки графика:

• При $x = -5$, $y = \sqrt{25 - (-5)^2} = 0$. Точка $(-5, 0)$.
• При $x = 0$, $y = \sqrt{25 - 0^2} = 5$. Точка $(0, 5)$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{25 - 5^2} = 0$. Точка $(5, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{25 - x^2}$ — это верхняя полуокружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 5, лежащая на отрезке $[-5, 5]$ оси Ox.

Указать по графику промежутки монотонности функции

Анализируя построенный график (верхнюю полуокружность), мы видим, что:

• При движении по оси Ox слева направо от $x = -5$ до $x = 0$, значения $y$ увеличиваются от $0$ до $5$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
• При движении по оси Ox от $x = 0$ до $x = 5$, значения $y$ уменьшаются от $5$ до $0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Точка $x=0$ является точкой максимума функции.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-5, 0]$ и убывает на промежутке $[0, 5]$.

Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Oy

Для доказательства симметрии графика функции относительно оси Oy необходимо показать, что функция является четной. Функция $y(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

1. Область определения функции $D(y) = [-5, 5]$ симметрична относительно нуля, так как если $x \in [-5, 5]$, то и $-x \in [-5, 5]$.

2. Проверим выполнение равенства $y(-x) = y(x)$. Подставим $-x$ в формулу функции вместо $x$:
$y(-x) = \sqrt{25 - (-x)^2}$
Так как $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$y(-x) = \sqrt{25 - x^2}$
Таким образом, $y(-x) = y(x)$.

Поскольку оба условия четности функции выполнены, функция является четной, а график четной функции всегда симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Функция $y = \sqrt{25 - x^2}$ является четной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и $y(-x) = y(x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy, что и требовалось доказать.