Номер 1477, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1477, страница 420.

Условие.

1477 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x$;

2) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x$

Данное выражение можно преобразовать, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ можно представить в виде $R \sin(\alpha + \phi)$ или $R \cos(\alpha - \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае коэффициенты при синусе и косинусе равны $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем множитель $2$ за скобки в исходном выражении:

$y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x \right)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Подставим эти значения в выражение в скобках:

$y = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin 2x - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos 2x \right)$.

В скобках получилось выражение, соответствующее формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. Применяя ее, получаем:

$y = 2 \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Область значений функции синус, $\sin(\theta)$, находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть для любого аргумента, включая $(2x - \frac{\pi}{3})$, выполняется неравенство:

$-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.

Умножив все части этого двойного неравенства на 2, найдем область значений для функции $y$:

$-2 \le 2 \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 2$,

что равносильно $-2 \le y \le 2$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее значение равно -2.

Ответ: наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2.

2) Для функции $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, преобразуем функцию так, чтобы она зависела только от одной тригонометрической функции одного аргумента. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2 \cos 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

Теперь упростим полученное выражение:

$y = 2 \cos 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x = \left(2 - \frac{1}{2}\right) \cos 2x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$.

Функция теперь зависит только от $\cos 2x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos 2x$. Мы знаем, что область значений косинуса — это промежуток $[-1, 1]$, следовательно, $-1 \le t \le 1$.

Функция принимает вид $y(t) = \frac{3}{2} t + \frac{1}{2}$. Это линейная функция от $t$. Так как коэффициент при $t$ положителен ($\frac{3}{2} > 0$), функция является возрастающей на всей своей области определения.

Следовательно, наибольшее значение функции $y(t)$ достигается при наибольшем возможном значении $t$, то есть при $t=1$:

$y_{наиб} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Наименьшее значение функции $y(t)$ достигается при наименьшем возможном значении $t$, то есть при $t=-1$:

$y_{наим} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{-3+1}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.

Таким образом, наибольшее значение исходной функции равно 2, а наименьшее — -1.

Ответ: наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -1.