Номер 1476, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1476, страница 420.

Условие.

1476 Найти наибольшее или наименьшее значение функции $y=ax^2+bx-4$, если $y(1)=0$ и $y(4)=0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx - 4$. Ее наибольшее или наименьшее значение достигается в вершине параболы, которая является графиком этой функции. Чтобы найти это значение, сначала определим коэффициенты $a$ и $b$, используя данные условия $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$.

Подставим значения $x$ и $y$ из условий в уравнение функции, чтобы составить систему уравнений.

1. Для $y(1) = 0$:
$a(1)^2 + b(1) - 4 = 0$
$a + b - 4 = 0$
$a + b = 4$

2. Для $y(4) = 0$:
$a(4)^2 + b(4) - 4 = 0$
$16a + 4b - 4 = 0$
Разделим обе части уравнения на 4:
$4a + b - 1 = 0$
$4a + b = 1$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} a + b = 4 \\ 4a + b = 1 \end{cases} $$ Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $$(4a + b) - (a + b) = 1 - 4$$ $$3a = -3$$ $$a = -1$$ Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в первое уравнение: $$(-1) + b = 4$$ $$b = 5$$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $$y = -x^2 + 5x - 4$$

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам: $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$ $$y_0 = y(x_0)$$ Найдем абсциссу вершины: $$x_0 = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{-5}{-2} = 2.5$$ Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции: $$y_0 = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 4$$ $$y_0 = -6.25 + 12.5 - 4$$ $$y_0 = 6.25 - 4$$ $$y_0 = 2.25$$

Наибольшее значение функции равно $2.25$.

Ответ: $2.25$