Номер 1483, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1483, страница 420.

Условие.

1483 Построить график функции:

3) $y = 2^{x-1} - 3;$

2) $y = \log_{2} (x + 2) + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

3) $y = 2^{x-1} - 3$

Для построения графика функции $y = 2^{x-1} - 3$ используется метод преобразования графика базовой показательной функции $y = 2^x$. Построение выполняется в три этапа.
1. Сначала строится график функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная кривая, проходящая через ключевые точки, например, $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Горизонтальной асимптотой для этого графика является ось $Ox$ (прямая $y=0$).
2. Затем, чтобы получить график функции $y = 2^{x-1}$, мы сдвигаем график $y=2^x$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Все точки графика смещаются соответственно. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(1, 1)$, а точка $(1, 2)$ — в точку $(2, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом не меняется.
3. Наконец, для получения искомого графика $y = 2^{x-1} - 3$, мы сдвигаем график $y = 2^{x-1}$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -2)$, а точка $(2, 2)$ — в $(2, -1)$. Горизонтальная асимптота также смещается вниз на 3 единицы и становится прямой $y = -3$.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$ происходит при $x=0$: $y = 2^{0-1} - 3 = 2^{-1} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$. Таким образом, график пересекает ось ординат в точке $(0, -2.5)$.
Пересечение с осью $Ox$ происходит при $y=0$: $0 = 2^{x-1} - 3$, откуда $2^{x-1} = 3$. Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем $x-1 = \log_2{3}$, то есть $x = 1 + \log_2{3}$. Таким образом, график пересекает ось абсцисс в точке $(1 + \log_2{3}, 0)$.

Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$, область значений $E(y) = (-3, +\infty)$, горизонтальная асимптота $y = -3$.

Ответ: График функции $y = 2^{x-1} - 3$ получается из графика функции $y=2^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-3$. График проходит через точки $(1, -2)$, $(2, -1)$ и пересекает оси в точках $(0, -2.5)$ и $(1 + \log_2{3}, 0)$.

2) $y = \log_2(x + 2) + 3$

Для построения графика функции $y = \log_2(x + 2) + 3$ применяется метод преобразования графика базовой логарифмической функции $y = \log_2(x)$. Построение происходит в три шага.
1. Сначала строится график функции $y = \log_2(x)$. Это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через ключевые точки, например, $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Вертикальной асимптотой для этого графика является ось $Oy$ (прямая $x=0$).
2. Затем, чтобы получить график функции $y = \log_2(x+2)$, мы сдвигаем график $y=\log_2(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$. Все точки графика смещаются соответственно. Например, точка $(1, 0)$ переходит в точку $(-1, 0)$, а точка $(2, 1)$ — в точку $(0, 1)$. Вертикальная асимптота $x=0$ также смещается влево на 2 единицы и становится прямой $x=-2$.
3. Наконец, для получения искомого графика $y = \log_2(x+2) + 3$, мы сдвигаем график $y = \log_2(x+2)$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Точка $(-1, 0)$ переходит в $(-1, 3)$, а точка $(0, 1)$ — в $(0, 4)$. Вертикальная асимптота $x=-2$ при этом не меняется.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$ происходит при $x=0$: $y = \log_2(0+2) + 3 = \log_2(2) + 3 = 1 + 3 = 4$. Таким образом, график пересекает ось ординат в точке $(0, 4)$.
Пересечение с осью $Ox$ происходит при $y=0$: $0 = \log_2(x+2) + 3$, откуда $\log_2(x+2) = -3$. По определению логарифма, $x+2 = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Следовательно, $x = \frac{1}{8} - 2 = -\frac{15}{8} = -1.875$. Таким образом, график пересекает ось абсцисс в точке $(-1.875, 0)$.

Основные свойства функции: область определения $x+2>0$, то есть $D(y) = (-2, +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$, вертикальная асимптота $x = -2$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x+2) + 3$ получается из графика функции $y=\log_2(x)$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=-2$. График проходит через точки $(-1, 3)$ и пересекает оси в точках $(0, 4)$ и $(-1.875, 0)$.