Номер 1481, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1481, страница 420.

Условие.

1481 Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$. Доказать, что функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$

График данной функции — это гипербола. Его можно получить путем сдвига графика базовой функции $y = \frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Для построения графика определим его ключевые характеристики:

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты.
- Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой, так как в этой точке функция не определена.
- Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x-2} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

3. Точки для построения. Найдем координаты нескольких точек, чтобы точнее построить ветви гиперболы.
- при $x = 3, y = \frac{5}{3-2} = 5$; точка $(3; 5)$.
- при $x = 4, y = \frac{5}{4-2} = 2.5$; точка $(4; 2.5)$.
- при $x = 7, y = \frac{5}{7-2} = 1$; точка $(7; 1)$.
- при $x = 1, y = \frac{5}{1-2} = -5$; точка $(1; -5)$.
- при $x = 0, y = \frac{5}{0-2} = -2.5$; точка $(0; -2.5)$.
- при $x = -3, y = \frac{5}{-3-2} = -1$; точка $(-3; -1)$.

График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот $(2; 0)$.

Ответ: График функции — гипербола с центром симметрии в точке $(2; 0)$, с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Доказать, что функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$

Для исследования функции на монотонность найдем ее первую производную. $y'(x) = \left(\frac{5}{x-2}\right)'$.
Используя правило дифференцирования частного или степенной функции ($y = 5(x-2)^{-1}$):
$y'(x) = 5 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-2} \cdot (x-2)' = -5(x-2)^{-2} = -\frac{5}{(x-2)^2}$.

Проанализируем знак производной. Знаменатель $(x-2)^2$ является квадратом выражения и положителен для всех $x$ из области определения функции ($x \neq 2$). Числитель равен -5, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, значение производной $y'(x) = -\frac{5}{(x-2)^2}$ всегда отрицательно ($y'(x) < 0$) на всей области определения. Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Следовательно, функция $y = \frac{5}{x-2}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y'(x) = -\frac{5}{(x-2)^2}$ отрицательна на всей области определения, что доказывает убывание функции на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

В какой точке график функции пересекает ось ординат?

График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке, абсцисса которой равна нулю, то есть при $x=0$. Для нахождения ординаты этой точки подставим $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = \frac{5}{0-2} = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Таким образом, точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты $(0; -2.5)$.

Ответ: $(0; -2.5)$.