Номер 1490, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1490, страница 421.

Условие.

1490 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sin x + \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

2) $f(x) = \cos 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = \sin x + \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)'$.

Используя табличные производные $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:

$f'(x) = \cos x - \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$k = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})$.

Подставляя известные значения тригонометрических функций $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, находим угловой коэффициент:

$k = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

2) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0$.

Функция $f(x) = \cos 3x$ является сложной. Для ее дифференцирования используем правило производной сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \cos u$ и внутренняя функция $h(x) = 3x$. Их производные равны $g'(u) = -\sin u$ и $h'(x) = 3$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$k = f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = -3\sin(\frac{3\pi}{6}) = -3\sin(\frac{\pi}{2})$.

Так как значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3