Номер 1497, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1497, страница 421.

Условие.

1497 Касательная к параболе $y = 3x^2 + 7x + 1$ в точке $M$ образует с осью абсцисс угол $\frac{\pi}{4}$. Найти координаты точки $M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Согласно условию задачи, касательная к параболе $y = 3x^2 + 7x + 1$ в точке $M$ образует с осью абсцисс угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Необходимо найти координаты точки $M(x_0; y_0)$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке равен тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс. Также, с другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(\alpha) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Теперь найдем производную функции $y = 3x^2 + 7x + 1$: $y' = (3x^2 + 7x + 1)' = 6x + 7$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $M$: $y'(x_0) = 6x_0 + 7$ $6x_0 + 7 = 1$ $6x_0 = 1 - 7$ $6x_0 = -6$ $x_0 = -1$.

Мы нашли абсциссу точки $M$. Для нахождения ординаты $y_0$ подставим значение $x_0 = -1$ в исходное уравнение параболы: $y_0 = 3(-1)^2 + 7(-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 7 + 1 = 3 - 7 + 1 = -3$.

Следовательно, координаты точки $M$ равны $(-1; -3)$.

Ответ: $M(-1; -3)$.