Номер 1502, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1502, страница 421.

Условие.

1502 Записать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x^3+1}{3}$ в точке его пересечения с осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдём точку касания.

По условию, касание происходит в точке пересечения графика функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$ с осью $Ox$. В точке пересечения с осью $Ox$ ордината $y$ (или значение функции $f(x)$) равна нулю. Найдём абсциссу этой точки ($x_0$), решив уравнение $f(x) = 0$.

$\frac{x^3 + 1}{3} = 0$

Умножим обе части на 3:

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

$x_0 = -1$

Итак, абсцисса точки касания $x_0 = -1$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(-1) = 0$. Точка касания имеет координаты $(-1, 0)$.

2. Найдём производную функции.

Найдём производную функции $f(x)$ для того, чтобы определить угловой коэффициент касательной.

$f'(x) = \left(\frac{x^3 + 1}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3 + 1)' = \frac{1}{3} \cdot (3x^2) = x^2$.

3. Найдём угловой коэффициент касательной.

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = -1$.

$f'(-1) = (-1)^2 = 1$.

Угловой коэффициент касательной равен 1.

4. Составим уравнение касательной.

Подставим все найденные значения: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 1$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$.