Номер 1504, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1504, страница 422.

Условие.

1504 Найти промежутки монотонности функции:

1) $y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$;

2) $y=\frac{x^2-1}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ найдем промежутки монотонности.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что дает $x \neq \pm 1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$.

Для определения промежутков монотонности нужно найти знаки производной. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.
Точки $x = -1$ и $x = 1$, в которых производная не определена, являются точками разрыва функции.
Эти точки ($x=-1, x=0, x=1$) делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определим знак производной $y'$ на каждом из этих интервалов. Знаменатель $(x^2 - 1)^2$ всегда положителен в области определения. Значит, знак производной определяется знаком числителя $-4x$.
- Если $x \in (-\infty; -1)$, то $-4x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.
- Если $x \in (-1; 0)$, то $-4x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.
- Если $x \in (0; 1)$, то $-4x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.
- Если $x \in (1; +\infty)$, то $-4x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$, убывает на промежутках $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$ найдем промежутки монотонности.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции. Удобно представить функцию в виде $y = x - \frac{1}{x}$.
$y' = \left(x - \frac{1}{x}\right)' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1 \cdot x^{-2}) = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $y' = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

Для определения промежутков монотонности исследуем знак производной.
Числитель производной $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$.
Знаменатель $x^2$ также всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$).
Следовательно, производная $y' = \frac{x^2 + 1}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения.

Поскольку $y' > 0$ для всех $x \in D(y)$, функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.