Номер 1503, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1503, страница 422.

Условие.

1503 Записать уравнение касательной к графику функции $f(x)=\sqrt{x^3+1}$ в точке с абсциссой $x=4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашей задаче дана функция $f(x) = \sqrt{x^3 + 1}$ и абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$f(x_0) = f(4) = \sqrt{4^3 + 1} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Представим функцию в виде $f(x) = (x^3 + 1)^{1/2}$:

$f'(x) = ((x^3 + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^3 + 1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x^3 + 1)' = \frac{1}{2}(x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$. Это значение является угловым коэффициентом касательной (тангенсом угла наклона).

$f'(x_0) = f'(4) = \frac{3 \cdot 4^2}{2\sqrt{4^3 + 1}} = \frac{3 \cdot 16}{2\sqrt{64 + 1}} = \frac{48}{2\sqrt{65}} = \frac{24}{\sqrt{65}}$

4. Теперь подставим все найденные значения ($x_0 = 4$, $f(x_0) = \sqrt{65}$ и $f'(x_0) = \frac{24}{\sqrt{65}}$) в общее уравнение касательной:

$y = \sqrt{65} + \frac{24}{\sqrt{65}}(x - 4)$

5. Упростим полученное уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$:

$y = \sqrt{65} + \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{24 \cdot 4}{\sqrt{65}}$

$y = \sqrt{65} + \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{96}{\sqrt{65}}$

Приведем константы к общему знаменателю:

$y = \frac{24}{\sqrt{65}}x + \frac{(\sqrt{65})^2}{\sqrt{65}} - \frac{96}{\sqrt{65}}$

$y = \frac{24}{\sqrt{65}}x + \frac{65 - 96}{\sqrt{65}}$

$y = \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{31}{\sqrt{65}}$

Ответ: $y = \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{31}{\sqrt{65}}$