Номер 1509, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1509, страница 422.

Условие.

1509 $y = x \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $[0, 1]$,

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x\sqrt{1-x^2}$ на отрезке $[0; 1]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем сравнить полученные результаты.

1. Нахождение производной функции

Функция является произведением $f(x)=x$ и $g(x)=\sqrt{1-x^2}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом производной произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.

Найдем производные для каждой части:

$f'(x) = (x)' = 1$

$g'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Теперь найдем производную исходной функции:

$y'(x) = 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y'(x) = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

2. Нахождение критических точек

Критические точки – это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y'(x) = 0 \implies \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

Это уравнение выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$1-2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:

$\sqrt{1-x^2} = 0 \implies 1-x^2=0 \implies x=\pm 1$

Из всех найденных точек ($-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-1$, $1$) выберем те, которые принадлежат заданному отрезку $[0; 1]$.

Такими точками являются $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=1$.

3. Вычисление значений функции в критических точках и на концах отрезка

Вычислим значения функции в точках $x=0$ (левый конец отрезка), $x=1$ (правый конец и критическая точка) и $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (критическая точка внутри отрезка).

• При $x=0$: $y(0) = 0 \cdot \sqrt{1-0^2} = 0 \cdot 1 = 0$
• При $x=1$: $y(1) = 1 \cdot \sqrt{1-1^2} = 1 \cdot 0 = 0$
• При $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

4. Выбор наибольшего и наименьшего значений

Сравним вычисленные значения функции: $\{0, 0, \frac{1}{2}\}$.

Наибольшее значение (максимум) функции на отрезке $[0; 1]$ равно $\frac{1}{2}$.

Наименьшее значение (минимум) функции на отрезке $[0; 1]$ равно $0$.

Ответ: $y_{наиб} = \frac{1}{2}$; $y_{наим} = 0$.