Номер 1513, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1513, страница 422.

Условие.

1513 В правильной четырёхугольной призме диагональ равна $2\sqrt{3}$. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $a$ – сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ – её высота. Так как призма правильная, в её основании лежит квадрат.

Объём призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Площадь основания (квадрата) равна $S_{осн} = a^2$. Таким образом, формула для объёма призмы: $V = a^2h$.

Квадрат диагонали $D$ правильной призмы (которая является частным случаем прямоугольного параллелепипеда) равен сумме квадратов трёх её измерений. В нашем случае измерения равны $a, a, h$. Диагональ призмы $D$ связана со стороной основания $a$ и высотой $h$ следующим соотношением:

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$

По условию задачи, диагональ призмы равна $D = 2\sqrt{3}$. Подставим это значение в полученную формулу:

$(2\sqrt{3})^2 = 2a^2 + h^2$

$12 = 2a^2 + h^2$

Чтобы найти, при какой высоте $h$ объём $V$ будет наибольшим, необходимо выразить объём как функцию одной переменной, в данном случае высоты $h$. Для этого выразим $a^2$ из соотношения выше:

$2a^2 = 12 - h^2$

$a^2 = \frac{12 - h^2}{2}$

Теперь подставим это выражение для $a^2$ в формулу объёма:

$V(h) = a^2 \cdot h = \left(\frac{12 - h^2}{2}\right) \cdot h = \frac{12h - h^3}{2} = 6h - \frac{1}{2}h^3$

Для нахождения наибольшего значения функции $V(h)$ исследуем её на экстремум. Найдём производную функции объёма по переменной $h$:

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left(6h - \frac{1}{2}h^3\right) = 6 - \frac{1}{2} \cdot 3h^2 = 6 - \frac{3}{2}h^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$6 - \frac{3}{2}h^2 = 0$

$\frac{3}{2}h^2 = 6$

$3h^2 = 12$

$h^2 = 4$

Поскольку высота $h$ является геометрической величиной, она должна быть положительной, следовательно, $h = 2$. Геометрические ограничения также требуют, чтобы $a^2 > 0$, то есть $12 - h^2 > 0 \implies h^2 < 12 \implies h < 2\sqrt{3}$. Найденное значение $h=2$ удовлетворяет этому условию.

Чтобы убедиться, что при $h=2$ достигается именно максимум, найдём вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left(6 - \frac{3}{2}h^2\right) = -3h$

При $h=2$, значение второй производной $V''(2) = -3 \cdot 2 = -6$. Так как $V''(2) < 0$, точка $h=2$ является точкой максимума функции объёма.

Таким образом, объём призмы будет наибольшим при высоте, равной 2.

Ответ: 2.