Номер 1519, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1519, страница 423.

Условие.

1519 На координатной плоскости дана точка K (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на дуге параболы $y = 4x^2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$, а точка $K$ является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1. Определение координат вершин треугольника

Пусть вершины треугольника обозначаются как A, B и C. Согласно условию задачи, две вершины, пусть это будут A и B, симметричны относительно оси Oy и лежат на дуге параболы $y = 4x^2$ при $x \in [-1; 1]$.

Пусть абсцисса точки A равна $x_0$, где $x_0 \in [-1; 1]$. Тогда ее координаты будут $A(x_0; 4x_0^2)$.

Поскольку точка B симметрична точке A относительно оси Oy, ее координаты будут $B(-x_0; 4x_0^2)$.

Чтобы треугольник существовал, точки A и B не должны совпадать, то есть $x_0 \neq 0$. Для удобства будем рассматривать $x_0 \in (0; 1]$, так как случай $x_0 \in [-1; 0)$ будет симметричным и приведет к тому же результату для площади.

Пусть третья вершина C имеет координаты $(x_C; y_C)$.

2. Анализ условия о середине стороны

Точка $K(3; 6)$ является серединой одной из сторон треугольника. Рассмотрим все три возможных случая.

Случай 1: K — середина стороны AB.
Координаты середины отрезка AB: $(\frac{x_0 + (-x_0)}{2}; \frac{4x_0^2 + 4x_0^2}{2}) = (0; 4x_0^2)$.
Приравнивая эти координаты к координатам точки K, получаем систему: $ \begin{cases} 0 = 3 \\ 4x_0^2 = 6 \end{cases} $ Первое уравнение, $0 = 3$, является ложным. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: K — середина стороны AC.
Координаты середины отрезка AC: $(\frac{x_0 + x_C}{2}; \frac{4x_0^2 + y_C}{2})$.
Приравнивая к координатам точки K, получаем систему: $ \begin{cases} \frac{x_0 + x_C}{2} = 3 \Rightarrow x_C = 6 - x_0 \\ \frac{4x_0^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow y_C = 12 - 4x_0^2 \end{cases} $ Таким образом, координаты вершины $C(6 - x_0; 12 - 4x_0^2)$.

Случай 3: K — середина стороны BC.
Координаты середины отрезка BC: $(\frac{-x_0 + x_C}{2}; \frac{4x_0^2 + y_C}{2})$.
Приравнивая к координатам точки K, получаем систему: $ \begin{cases} \frac{-x_0 + x_C}{2} = 3 \Rightarrow x_C = 6 + x_0 \\ \frac{4x_0^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow y_C = 12 - 4x_0^2 \end{cases} $ Таким образом, координаты вершины $C(6 + x_0; 12 - 4x_0^2)$.

3. Вывод функции площади треугольника

Для нахождения площади треугольника $S$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота.

В качестве основания удобно взять сторону AB, так как она параллельна оси Ox. Длина основания $a$ равна расстоянию между точками A и B: $a = |x_0 - (-x_0)| = |2x_0| = 2x_0$ (поскольку мы рассматриваем $x_0 > 0$).

Высота $h$, проведенная из вершины C к основанию AB, равна разности ординат вершины C и прямой, на которой лежит основание AB ($y = 4x_0^2$).

Заметим, что в обоих возможных случаях (K — середина AC или BC) ордината точки C одинакова: $y_C = 12 - 4x_0^2$. $h = |y_C - y_A| = |(12 - 4x_0^2) - 4x_0^2| = |12 - 8x_0^2|$.

Поскольку $x_0 \in (0; 1]$, то $0 < x_0^2 \le 1$, и $0 < 8x_0^2 \le 8$. Следовательно, выражение $12 - 8x_0^2$ всегда положительно ($12 - 8x_0^2 \ge 12-8 = 4$). Значит, $h = 12 - 8x_0^2$.

Теперь можем записать площадь треугольника как функцию от $x_0$: $S(x_0) = \frac{1}{2} \cdot (2x_0) \cdot (12 - 8x_0^2) = 12x_0 - 8x_0^3$.

4. Нахождение наибольшего значения площади

Нам нужно найти наибольшее значение функции $S(x_0) = 12x_0 - 8x_0^3$ на отрезке $x_0 \in [0; 1]$ (включаем 0, так как при $x_0 \to 0$ площадь стремится к 0).

Для этого найдем производную функции $S(x_0)$ по $x_0$: $S'(x_0) = (12x_0 - 8x_0^3)' = 12 - 24x_0^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $12 - 24x_0^2 = 0$ $24x_0^2 = 12$ $x_0^2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ $x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

В рассматриваемый интервал $(0; 1]$ попадает только одна критическая точка: $x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Найдем вторую производную: $S''(x_0) = (12 - 24x_0^2)' = -48x_0$. При $x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значение $S''(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -24\sqrt{2} < 0$. Это означает, что в данной точке функция имеет максимум.

Вычислим значение площади в этой точке и на