Номер 1520, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1520, страница 423.

Условие.

1520 Каковы должны быть коэффициенты $p$ и $q$ квадратичной функции $y = x^2 + px + q$, чтобы при $x = 5$ она имела минимум, равный 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Дана квадратичная функция $y = x^2 + px + q$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет точку минимума, которая является вершиной параболы.

По условию задачи, минимум функции достигается при $x=5$, а значение этого минимума равно 1. Это означает, что координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(5, 1)$.

Уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ и старшим коэффициентом $a$ можно записать в виде: $y = a(x-h)^2 + k$.

Для нашей функции $y = x^2 + px + q$ старший коэффициент $a=1$. Подставим известные значения $a=1$, $h=5$ и $k=1$ в вершинную форму уравнения:
$y = 1 \cdot (x-5)^2 + 1$
$y = (x-5)^2 + 1$

Чтобы найти коэффициенты $p$ и $q$, раскроем скобки и приведем полученное уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$:
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) + 1$
$y = x^2 - 10x + 25 + 1$
$y = x^2 - 10x + 26$

Теперь сравним полученное уравнение $y = x^2 - 10x + 26$ с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$. Отсюда видно, что искомые коэффициенты равны:
$p = -10$
$q = 26$

Ответ: $p = -10, q = 26$.