Номер 1521, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1521, страница 423.

Условие.

1521 Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус его основания как $r$ и образующую как $l$. По условию задачи, образующая $l = 20$ дм.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Высота, радиус и образующая конуса связаны соотношением из теоремы Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник в осевом сечении конуса: $l^2 = h^2 + r^2$

Подставим известное значение образующей $l=20$: $20^2 = h^2 + r^2$ $400 = h^2 + r^2$

Чтобы выразить объём как функцию одной переменной, выразим квадрат радиуса $r^2$ через высоту $h$: $r^2 = 400 - h^2$

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в формулу объёма, чтобы получить функцию $V(h)$: $V(h) = \frac{1}{3}\pi (400 - h^2) h = \frac{1}{3}\pi (400h - h^3)$

Для нахождения высоты, при которой объём будет наибольшим, необходимо найти максимум функции $V(h)$. Для этого найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$ и приравняем её к нулю. $V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{1}{3}\pi (400h - h^3) \right) = \frac{1}{3}\pi \frac{d}{dh}(400h - h^3)$ $V'(h) = \frac{1}{3}\pi (400 - 3h^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $\frac{1}{3}\pi (400 - 3h^2) = 0$ $400 - 3h^2 = 0$ $3h^2 = 400$ $h^2 = \frac{400}{3}$ $h = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ (мы берем только положительное значение, так как высота не может быть отрицательной).

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой максимума, найдем вторую производную: $V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{1}{3}\pi (400 - 3h^2) \right) = \frac{1}{3}\pi (-6h) = -2\pi h$

Поскольку высота $h$ всегда положительна ($h > 0$), вторая производная $V''(h) = -2\pi h$ всегда будет отрицательной. Это означает, что найденная критическая точка $h = \frac{20}{\sqrt{3}}$ является точкой максимума.

Преобразуем полученное значение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.

Ответ: Высота конуса должна быть равна $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.