Номер 1517, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1517, страница 422.

Условие.

1517 На параболе $y = x^2$ найти точку, расстояние от которой до точки $A \left(2; \frac{1}{2}\right)$ является наименьшим.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомая точка на параболе $y=x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Так как точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать в виде $M(x; x^2)$.

Найдем квадрат расстояния $d^2$ от точки $M(x; x^2)$ до точки $A(2; \frac{1}{2})$. Расстояние будет наименьшим тогда и только тогда, когда его квадрат будет наименьшим. Использование квадрата расстояния позволяет избежать работы с квадратным корнем, что упрощает вычисления.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Подставим координаты точек $M$ и $A$: $d^2 = (x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2$

Введем функцию $f(x)$, представляющую собой квадрат расстояния, и найдем ее минимум: $f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2$

Раскроем скобки и упростим выражение: $f(x) = (x^2 - 4x + 4) + (x^4 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2)$ $f(x) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + \frac{1}{4}$ $f(x) = x^4 - 4x + \frac{17}{4}$

Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$: $f'(x) = (x^4 - 4x + \frac{17}{4})'$ $f'(x) = 4x^3 - 4$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$ $4x^3 - 4 = 0$ $4(x^3 - 1) = 0$ $x^3 = 1$ $x = 1$

Мы нашли одну критическую точку $x=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной. $f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$

Вычислим значение второй производной в критической точке: $f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$

Так как $f''(1) = 12 > 0$, то $x=1$ является точкой локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка функции, то этот минимум является и глобальным.

Теперь найдем соответствующую координату $y$ для найденного значения $x=1$: $y = x^2 = 1^2 = 1$

Таким образом, искомая точка на параболе, расстояние от которой до точки $A(2; \frac{1}{2})$ является наименьшим, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.