Номер 1512, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1512, страница 422.

Условие.

1512 В правильной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ проведена высота $SO$. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что $SO + AC = 9$ и $1 \leq AC \leq 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть сторона основания правильной пирамиды $SABC$ равна $a$, а высота $SO$ равна $h$. Так как пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$.

Площадь основания пирамиды (площадь равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Объем пирамиды $V$ определяется формулой:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2 h\sqrt{3}}{12}$

По условию задачи даны соотношения:1. $SO + AC = 9$, что в наших обозначениях означает $h + a = 9$.2. $1 \le AC \le 8$, то есть $1 \le a \le 8$.

Из первого условия выразим высоту $h$ через сторону основания $a$:$h = 9 - a$

Подставим это выражение в формулу для объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от переменной $a$:$V(a) = \frac{a^2 (9 - a)\sqrt{3}}{12}$

Нам необходимо найти значение $a$ из отрезка $[1, 8]$, при котором функция $V(a)$ принимает наибольшее значение. Так как $\frac{\sqrt{3}}{12}$ является постоянным положительным множителем, задача сводится к нахождению максимума функции $f(a) = a^2(9 - a)$ на отрезке $[1, 8]$.

Рассмотрим функцию $f(a) = 9a^2 - a^3$. Для нахождения точек экстремума найдем ее производную:$f'(a) = (9a^2 - a^3)' = 18a - 3a^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$18a - 3a^2 = 0$$3a(6 - a) = 0$Критическими точками являются $a = 0$ и $a = 6$.

Точка $a = 0$ не принадлежит рассматриваемому отрезку $[1, 8]$. Точка $a = 6$ принадлежит этому отрезку.Исследуем знак производной:- На интервале $(0, 6)$ производная $f'(a) > 0$, следовательно, функция $f(a)$ возрастает.- На интервале $(6, \infty)$ производная $f'(a) < 0$, следовательно, функция $f(a)$ убывает.Это означает, что в точке $a = 6$ функция $f(a)$ имеет максимум.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке $[1, 8]$, сравним ее значения в точке максимума $a=6$ и на концах отрезка $a=1$ и $a=8$:$f(1) = 9(1)^2 - 1^3 = 9 - 1 = 8$$f(6) = 9(6)^2 - 6^3 = 9 \cdot 36 - 216 = 324 - 216 = 108$$f(8) = 9(8)^2 - 8^3 = 9 \cdot 64 - 512 = 576 - 512 = 64$

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции $f(a)$ (а значит и объема пирамиды $V(a)$) на отрезке $[1, 8]$ достигается при $a = 6$.

Ответ: 6