Номер 1511, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1511, страница 422.

Условие.

1511 Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см$^2$, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна $54\pi$ см$^2$. Подставим это значение в формулу: $2\pi r^2 + 2\pi rh = 54\pi$

Для упрощения разделим обе части уравнения на $2\pi$: $r^2 + rh = 27$

Теперь выразим высоту $h$ через радиус $r$, чтобы затем найти объём как функцию одной переменной: $rh = 27 - r^2$ $h = \frac{27 - r^2}{r}$

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Подставим полученное выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию $V(r)$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{27 - r^2}{r}\right) = \pi r (27 - r^2) = 27\pi r - \pi r^3$

Нам необходимо найти наибольшее значение этой функции на отрезке, который задан условием: радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см, то есть $r \in [2, 4]$.

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке, сначала найдем её производную по $r$, чтобы определить критические точки. $V'(r) = (27\pi r - \pi r^3)' = 27\pi - 3\pi r^2$

Приравняем производную к нулю: $27\pi - 3\pi r^2 = 0$ $3\pi r^2 = 27\pi$ $r^2 = 9$ $r = 3$ (корень $r=-3$ не подходит, так как радиус должен быть положительным).

Найденная критическая точка $r=3$ принадлежит заданному отрезку $[2, 4]$. Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Поэтому вычислим значения объёма в точках $r=2$, $r=3$ и $r=4$.

При $r = 2$ см: $V(2) = 27\pi(2) - \pi(2^3) = 54\pi - 8\pi = 46\pi$ см$^3$.

При $r = 3$ см: $V(3) = 27\pi(3) - \pi(3^3) = 81\pi - 27\pi = 54\pi$ см$^3$.

При $r = 4$ см: $V(4) = 27\pi(4) - \pi(4^3) = 108\pi - 64\pi = 44\pi$ см$^3$.

Сравнивая полученные значения ($46\pi$, $54\pi$ и $44\pi$), мы видим, что наибольшее значение равно $54\pi$.

Ответ: $54\pi$ см$^3$.