Номер 1518, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1518, страница 423.

Условие.

1518 На координатной плоскости даны точки $A(3; -1)$ и $D(4; -1)$. Рассматриваются трапеции, у которых отрезок $AD$ является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы $y = 1 - x^2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть вершины трапеции обозначаются как $A, B, C, D$. Согласно условию, отрезок $AD$ является одним из оснований, где даны координаты точек $A(3; -1)$ и $D(4; -1)$. Другое основание, назовем его $BC$, имеет вершины на дуге параболы $y = 1 - x^2$, для которой $x \in [-1; 1]$.

Найдем характеристики основания $AD$. Поскольку ординаты (координаты $y$) точек $A$ и $D$ одинаковы и равны $-1$, основание $AD$ является горизонтальным отрезком, лежащим на прямой $y = -1$. Длина этого основания, обозначим ее $a$, равна разности абсцисс:$a = |x_D - x_A| = |4 - 3| = 1$.

В трапеции основания параллельны. Следовательно, основание $BC$ также должно быть параллельно оси абсцисс, то есть лежать на горизонтальной прямой. Это означает, что ординаты вершин $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ должны быть равны. Так как обе точки лежат на параболе, имеем $y_B = 1 - x_B^2$ и $y_C = 1 - x_C^2$. Из равенства $y_B = y_C$ получаем $1 - x_B^2 = 1 - x_C^2$, что приводит к $x_B^2 = x_C^2$. Поскольку $B$ и $C$ — это разные вершины, их абсциссы должны быть противоположны: $x_B = -x_C$.

Обозначим абсциссу точки $C$ как $t$. Тогда абсцисса точки $B$ будет $-t$. По условию, абсциссы вершин второго основания лежат в отрезке $[-1; 1]$. Мы можем без ограничения общности выбрать $t \in [0; 1]$. Тогда координаты вершин второго основания будут $C(t, 1 - t^2)$ и $B(-t, 1 - t^2)$. Длина этого основания, обозначим ее $b$, равна:$b = |x_C - x_B| = |t - (-t)| = |2t| = 2t$ (поскольку $t \ge 0$).

Высота трапеции $h$ — это перпендикулярное расстояние между ее основаниями, то есть между прямыми $y = -1$ и $y = 1 - t^2$.$h = (1 - t^2) - (-1) = 2 - t^2$.Для $t \in [0; 1]$ значение $t^2$ находится в диапазоне $[0; 1]$, поэтому высота $h$ всегда положительна.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Запишем площадь как функцию от переменной $t$:$S(t) = \frac{1 + 2t}{2}(2 - t^2)$.Нашей задачей является нахождение максимального значения функции $S(t)$ на отрезке $t \in [0; 1]$.

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную. Раскроем скобки в выражении для площади:$S(t) = \frac{1}{2}(2 - t^2 + 4t - 2t^3) = -t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1$.Производная функции $S(t)$ по $t$:$S'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1) = -3t^2 - t + 2$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:$-3t^2 - t + 2 = 0$,$3t^2 + t - 2 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.Корни уравнения:$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Из найденных критических точек только $t_2 = \frac{2}{3}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, а точка $t_1 = -1$ является концом исходного отрезка для $x$. Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке $[0; 1]$ необходимо сравнить значения функции в критической точке $t = \frac{2}{3}$ и на концах отрезка, то есть при $t=0$ и $t=1$.

Вычислим значения площади:При $t = 0$:$S(0) = \frac{1 + 2 \cdot 0}{2}(2 - 0^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

При $t = 1$:$S(1) = \frac{1 + 2 \cdot 1}{2}(2 - 1^2) = \frac{3}{2} \cdot 1 = 1.5$.

При $t = \frac{2}{3}$:$S(\frac{2}{3}) = \frac{1 + 2 \cdot \frac{2}{3}}{2}(2 - (\frac{2}{3})^2) = \frac{1 + \frac{4}{3}}{2}(2 - \frac{4}{9}) = \frac{\frac{7}{3}}{2}(\frac{18 - 4}{9}) = \frac{7}{6} \cdot \frac{14}{9} = \frac{98}{54} = \frac{49}{27}$.

Теперь сравним полученные значения: $1$, $1.5$ и $\frac{49}{27}$.$1 = \frac{27}{27}$.$1.5 = \frac{3}{2} = \frac{40.5}{27}$.Поскольку $49 > 40.5 > 27$, наибольшим значением является $\frac{49}{27}$.

Ответ: $\frac{49}{27}$.