Номер 1525, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1525, страница 423.

Условие.

1525 Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $R$ — радиус шара, $h$ — высота вписанного конуса, а $r$ — радиус основания конуса. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Для решения задачи необходимо выразить объём конуса как функцию одной переменной, например, высоты $h$. Для этого установим связь между $r$, $h$ и $R$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Сечением шара является круг радиуса $R$ с центром в точке $O$. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина основания — радиусу основания конуса $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, проведенным к окружности основания конуса ($R$), радиусом основания конуса ($r$) и отрезком, соединяющим центр шара с центром основания конуса. Длина этого отрезка равна $|R-h|$. По теореме Пифагора:

$r^2 + (R-h)^2 = R^2$

Выразим $r^2$ из этого уравнения:

$r^2 = R^2 - (R-h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$

Высота конуса $h$ может принимать значения в интервале $(0, 2R)$.

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объёма конуса:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi (2Rh - h^2)h = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3)$

Чтобы найти высоту, при которой объём будет наибольшим, исследуем функцию $V(h)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по $h$:

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3) \right) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$V'(h) = 0$

$\frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = 0$

$h(4R - 3h) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $h_1 = 0$ и $h_2 = \frac{4R}{3}$.

Значение $h_1 = 0$ соответствует конусу с нулевым объёмом, что является минимумом. Значение $h_2 = \frac{4R}{3}$ находится в допустимом диапазоне $(0, 2R)$ и является кандидатом на точку максимума.

Для проверки найдём вторую производную функции объёма:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) \right) = \frac{\pi}{3}(4R - 6h)$

Вычислим значение второй производной в точке $h = \frac{4R}{3}$:

$V''\left(\frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}\left(4R - 6 \cdot \frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}(4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3}$

Поскольку радиус шара $R > 0$, значение второй производной отрицательно ($V'' < 0$). Это означает, что при $h = \frac{4R}{3}$ функция объёма $V(h)$ достигает своего максимума.

Ответ: $\frac{4}{3}R$