Номер 1526, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1526, страница 423.

Условие.

1526 В конус с заданным объёмом $V$ вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $\alpha$. При каком значении $\alpha$ объём пирамиды будет наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $V$ — заданный объём конуса. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Пирамида вписана в конус. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (равнобедренный треугольник) вписано в основание конуса (круг). Следовательно, высота пирамиды также равна $H$.

Объём пирамиды $V_{пир}$ определяется формулой $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды.

Поскольку объём конуса $V$ задан, его размеры $R$ и $H$ являются постоянными величинами. Для того чтобы объём пирамиды $V_{пир}$ был наибольшим, необходимо, чтобы площадь её основания $S_{осн}$ была наибольшей, так как $V_{пир}$ прямо пропорционален $S_{осн}$ при постоянной высоте $H$.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$. Пусть боковые стороны треугольника равны $a$, а основание — $b$. Углы при основании равны $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Площадь этого треугольника можно выразить как $S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.

Чтобы найти зависимость площади от угла $\alpha$, выразим сторону $a$ через радиус описанной окружности $R$. По теореме синусов для этого треугольника: $$ \frac{a}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R $$ Поскольку $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем: $$ a = 2R \cos(\frac{\alpha}{2}) $$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади: $$ S_{осн} = \frac{1}{2} \left(2R \cos(\frac{\alpha}{2})\right)^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin(\alpha) = 2R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin(\alpha) $$

Нам нужно найти значение $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, при котором функция $S_{осн}(\alpha)$ достигает максимума. Так как $2R^2$ — константа, будем исследовать на максимум функцию $f(\alpha) = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin(\alpha)$.

Для удобства преобразуем функцию, используя тригонометрические тождества: $$ \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} $$ $$ f(\alpha) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha)) = \frac{1}{2}\left(\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right) $$

Найдём производную функции $f(\alpha)$ по $\alpha$: $$ f'(\alpha) = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha) + \frac{1}{2} \cdot 2\cos(2\alpha)\right) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)) $$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) = 0 $$ Используем формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$: $$ \cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1 = 0 $$ $$ 2\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha) - 1 = 0 $$

Сделаем замену $x = \cos(\alpha)$ и решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$: $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} $$ Получаем два решения для $x$: $$ x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $$

Вернёмся к $\cos(\alpha)$: 1. $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Поскольку $\alpha$ — угол при вершине треугольника, $0 < \alpha < \pi$. Этому условию удовлетворяет $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$). 2. $\cos(\alpha) = -1$. Это соответствует $\alpha = \pi$. При таком угле треугольник вырождается в отрезок, и его площадь равна нулю. Это значение соответствует минимуму, а не максимуму.

Таким образом, единственной точкой экстремума внутри интервала $(0, \pi)$ является $\alpha = \frac{\pi}{3}$. На границах интервала (при $\alpha \to 0$ и $\alpha \to \pi$) площадь треугольника стремится к нулю, следовательно, в точке $\alpha = \frac{\pi}{3}$ достигается глобальный максимум.

Когда угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$, остальные два угла также равны $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$. Следовательно, треугольник является равносторонним. Известно, что из всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Ответ: Наибольший объём пирамиды будет при значении угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$).