Номер 1523, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1523, страница 423.

Условие.

1523 Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$ и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота — $h$. Радиус шара, в который вписан цилиндр, по условию равен $R$.Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2\pi rh$. Нам необходимо найти такое значение $r$, при котором эта площадь будет наибольшей.Для связи переменных $r$, $h$ и $R$ рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением шара является круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, вписанный в этот круг.Из центра шара (который совпадает с центром прямоугольника) проведем радиус $R$ к вершине прямоугольника. Этот радиус будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$.Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$Из этого соотношения выразим высоту $h$ через $r$ и $R$:$\frac{h^2}{4} = R^2 - r^2 \implies h^2 = 4(R^2 - r^2) \implies h = 2\sqrt{R^2 - r^2}$Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $r$:$S(r) = 2\pi r \cdot (2\sqrt{R^2 - r^2}) = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}$Чтобы найти максимум этой функции, найдем ее производную. Для упрощения вычислений будем исследовать на максимум не саму функцию $S(r)$, а ее квадрат $S^2(r)$, так как $S(r) \ge 0$ и точка максимума для $S^2(r)$ совпадет с точкой максимума для $S(r)$.Пусть $f(r) = S^2(r) = (4\pi r\sqrt{R^2 - r^2})^2 = 16\pi^2 r^2(R^2 - r^2) = 16\pi^2(R^2r^2 - r^4)$.Найдем производную $f'(r)$ по переменной $r$:$f'(r) = \frac{d}{dr}(16\pi^2(R^2r^2 - r^4)) = 16\pi^2(2R^2r - 4r^3)$Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$16\pi^2(2R^2r - 4r^3) = 0$$2R^2r - 4r^3 = 0$$2r(R^2 - 2r^2) = 0$Это уравнение имеет два решения: $r=0$ (что соответствует вырожденному цилиндру с нулевой площадью боковой поверхности, то есть минимуму) и $R^2 - 2r^2 = 0$.Решим второе уравнение:$2r^2 = R^2$$r^2 = \frac{R^2}{2}$$r = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ (радиус $r$ должен быть положительным).Это значение $r$ является точкой максимума, так как производная $f'(r) = 32\pi^2r(R^2 - 2r^2)$ меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку.Преобразуем результат, избавившись от иррациональности в знаменателе:$r = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{R\sqrt{2}}{2}$