Номер 1524, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1524, страница 423.

Условие.

1524 Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $h$ и $r$ — высота и радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$. Объём цилиндра определяется формулой:

$V = \pi r^2 h$

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. Сечением шара будет круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Вершины прямоугольника лежат на окружности этого круга.

Между радиусом шара $R$, радиусом цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ существует связь, которая следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $\frac{h}{2}$ и гипотенузой $R$:

$r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2$

Выразим из этого соотношения $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Подставим это выражение в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма $V$ как функцию одной переменной $h$:

$V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$

Для нахождения максимального значения объёма, исследуем функцию $V(h)$ на экстремум. Найдём производную функции по $h$:

$V'(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}) = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$

$R^2 = \frac{3h^2}{4}$

$h^2 = \frac{4R^2}{3}$

Так как высота $h$ должна быть положительной, извлекаем корень:

$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Убедимся, что это точка максимума. Для этого найдём вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$

Поскольку $h > 0$, значение второй производной $V''(h)$ всегда отрицательно. Следовательно, в найденной точке функция $V(h)$ достигает максимума.

Таким образом, высота цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$, равна $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$