Номер 1516, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1516, страница 422.

Условие.

1516 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x)=2 \ln^3 x - 9 \ln^2 x + 12 \ln x$ на отрезке $[e^{\frac{3}{4}}; e^3]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2 \ln^3 x - 9 \ln^2 x + 12 \ln x$ на отрезке $[e^{3/4}; e^3]$, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а также на его концах, и сравнить их между собой.

Для упрощения вычислений, введем замену переменной. Пусть $t = \ln x$. Найдем, в каких пределах будет изменяться переменная $t$, если $x$ принадлежит отрезку $[e^{3/4}; e^3]$:

• Нижняя граница: при $x = e^{3/4}$, $t = \ln(e^{3/4}) = 3/4$.
• Верхняя граница: при $x = e^3$, $t = \ln(e^3) = 3$.

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ на отрезке $[3/4; 3]$.

1. Найдем производную функции $g(t)$ по переменной $t$:

$g'(t) = (2t^3 - 9t^2 + 12t)' = 6t^2 - 18t + 12$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$6t^2 - 18t + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные критические точки отрезку $[3/4; 3]$.

Поскольку $3/4 = 0.75$, очевидно, что $3/4 < 1 < 3$ и $3/4 < 2 < 3$. Обе критические точки $t=1$ и $t=2$ принадлежат заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции $g(t)$ в найденных критических точках и на концах отрезка $[3/4; 3]$:

• На левом конце отрезка, при $t = 3/4$:
  $g(3/4) = 2(3/4)^3 - 9(3/4)^2 + 12(3/4) = 2 \cdot \frac{27}{64} - 9 \cdot \frac{9}{16} + 9 = \frac{27}{32} - \frac{81}{16} + 9 = \frac{27 - 162 + 288}{32} = \frac{153}{32} = 4 \frac{25}{32}$.
• В первой критической точке, при $t = 1$:
  $g(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 2 - 9 + 12 = 5$.
• Во второй критической точке, при $t = 2$:
  $g(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 2 \cdot 8 - 9 \cdot 4 + 24 = 16 - 36 + 24 = 4$.
• На правом конце отрезка, при $t = 3$:
  $g(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 36 = 54 - 81 + 36 = 9$.

5. Сравним полученные значения: $4 \frac{25}{32}$ (что примерно равно 4.78), $5$, $4$ и $9$.

Наименьшее из этих значений равно $4$.

Наибольшее из этих значений равно $9$.

Таким образом, наименьшее значение исходной функции $f(x)$ на заданном отрезке равно 4, а наибольшее значение равно 9.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[e^{3/4}; e^3]$ равно 4, а наибольшее значение равно 9.