Номер 1514, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1514, страница 422.

Условие.

1514 Для функции $f (x) = x^{-2} + \cos x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M \left( 0,5\pi; -\frac{2}{\pi} \right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, график которой проходит через заданную точку.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^{-2} + \cos x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, разобьем его на два:

$F(x) = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$

Найдём каждый интеграл по отдельности, используя таблицу первообразных:

Для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C_1$. В нашем случае $n = -2$:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$

Для тригонометрической функции:

$\int \cos x dx = \sin x$

Суммируя результаты и добавляя одну общую константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$

2. Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(0.5\pi; -\frac{2}{\pi})$. Это означает, что $F(0.5\pi) = -\frac{2}{\pi}$. Подставим координаты точки в уравнение для $F(x)$:

$x = 0.5\pi = \frac{\pi}{2}$

$F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\frac{\pi}{2}} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C$

Подставляем известное значение $F(\frac{\pi}{2})$ и вычисляем значения функций:

$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C$

Чтобы найти $C$, вычтем $-\frac{2}{\pi}$ из обеих частей равенства:

$0 = 1 + C$

$C = -1$

3. Подставляем найденное значение $C = -1$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$