Номер 1507, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1507, страница 422.

Условие.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

(1507—1509).

1507 $y = 2 \sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1507

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, нужно найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем сравнить их.

1. Найдём производную функции.

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - \sin(2x) \cdot 2 = 2\cos x - 2\sin(2x)$.

2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение $y'(x) = 0$:

$2\cos x - 2\sin(2x) = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\cos x - 2(2\sin x \cos x) = 0$

$2\cos x - 4\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $\cos x = 0$

б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Из уравнения $\cos x = 0$ на заданном отрезке решением является $x = \frac{\pi}{2}$.

Из уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ на заданном отрезке решением является $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке.

Точки для проверки: $x=0$ (левый конец отрезка), $x=\frac{\pi}{6}$ (критическая точка) и $x=\frac{\pi}{2}$ (правый конец отрезка).

При $x=0$:

$y(0) = 2 \sin(0) + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.

При $x=\frac{\pi}{6}$:

$y(\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

При $x=\frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 + (-1) = 2 - 1 = 1$.

5. Сравним полученные значения.

Мы получили три значения: $1$, $\frac{3}{2}$ и $1$.

Наибольшее из этих значений равно $\frac{3}{2}$.

Наименьшее из этих значений равно $1$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = \frac{3}{2}$.