Номер 1505, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1505, страница 422.

Условие.

Найти точки экстремума функции (1505—1506).

1505 1) $y=(x-1)^3 (x-2)^2;$

2) $y=4+(6-x)^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y=(x-1)^3 (x-2)^2$

Чтобы найти точки экстремума, найдем производную функции, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем знак производной в окрестности этих точек.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Находим производную функции $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x-1)^3)'(x-2)^2 + (x-1)^3((x-2)^2)'$

$y' = 3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2)$

Вынесем общие множители $(x-1)^2$ и $(x-2)$ за скобки для упрощения:

$y' = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)] = (x-1)^2(x-2)(3x - 6 + 2x - 2)$

$y' = (x-1)^2(x-2)(5x - 8)$

3. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю: $y' = 0$.

$(x-1)^2(x-2)(5x - 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1.6$. Это и есть критические точки, так как производная определена всюду.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые числовую ось разбивают критические точки: $(-\infty; 1)$, $(1; 1.6)$, $(1.6; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Знак $y'$ зависит от знаков сомножителей $(x-2)$ и $(5x-8)$, так как множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен.
- При $x \in (-\infty; 1)$: $y' = (+)(-)(-) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1; 1.6)$: $y' = (+)(-)(-) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1.6; 2)$: $y' = (+)(-)(+) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (2; +\infty)$: $y' = (+)(+)(+) > 0$, функция возрастает.

5. Делаем вывод о точках экстремума.
- В точке $x=1$ производная не меняет свой знак (справа и слева от точки она положительна), поэтому $x=1$ не является точкой экстремума.
- В точке $x=1.6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, $x=1.6$ — точка локального максимума.
- В точке $x=2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, $x=2$ — точка локального минимума.

Ответ: $x_{\max} = \frac{8}{5}$, $x_{\min} = 2$.

2) $y = 4 + (6 - x)^4$

Способ 1: Исследование с помощью производной.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $y'$:

$y' = (4 + (6 - x)^4)' = 0 + 4(6-x)^3 \cdot (6-x)' = 4(6-x)^3 \cdot (-1) = -4(6-x)^3$

3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$-4(6-x)^3 = 0 \implies 6-x = 0 \implies x = 6$

Единственная критическая точка — $x=6$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 6)$ и $(6; +\infty)$.
- Если $x < 6$, то $6-x > 0$, и $y' = -4(\text{положительное число}) < 0$. Функция убывает.
- Если $x > 6$, то $6-x < 0$, и $y' = -4(\text{отрицательное число}) > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x=6$ производная меняет знак с `-` на `+`. Следовательно, $x=6$ — точка минимума.

Способ 2: Анализ вида функции.

Функция имеет вид $y = 4 + (6 - x)^4$. Слагаемое $(6 - x)^4$, как четная степень, всегда неотрицательно: $(6 - x)^4 \geq 0$ для любого $x$.

Наименьшее значение, равное нулю, это слагаемое принимает при $6 - x = 0$, то есть при $x=6$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $y_{\min} = 4 + 0 = 4$ и достигается в точке $x=6$.

Это означает, что $x=6$ является точкой глобального (и локального) минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: $x_{\min} = 6$.