Номер 1499, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1499, страница 421.

Условие.

1499 Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = x^3 - x^2 - 7x + 6$ в точке $M (2; -4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Нам дана функция $y = x^3 - x^2 - 7x + 6$ и точка касания $M(2; -4)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции $y = f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - x^2 - 7x + 6)' = 3x^{3-1} - 2x^{2-1} - 7x^{1-1} + 0 = 3x^2 - 2x - 7$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:
$k = f'(2) = 3 \cdot (2)^2 - 2 \cdot 2 - 7 = 3 \cdot 4 - 4 - 7 = 12 - 11 = 1$.

3. Теперь найдем сам угол $\alpha$. Мы знаем, что тангенс угла наклона касательной равен ее угловому коэффициенту:
$\tan(\alpha) = k = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $\alpha = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах).

Ответ: $45^\circ$.