Номер 1494, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

6. Функции и графики. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа - номер 1494, страница 421.

1494 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=3x^3-1$ в точке с ординатой $y=2$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = y'(x_0)$.

Сначала найдем абсциссу $x_0$ точки касания. По условию задачи дана ордината этой точки $y_0 = 2$. Подставим это значение в уравнение функции $y = 3x^3 - 1$, чтобы найти соответствующую абсциссу $x_0$:
$2 = 3x_0^3 - 1$
Перенесем $-1$ в левую часть уравнения:
$2 + 1 = 3x_0^3$
$3 = 3x_0^3$
Разделим обе части на 3:
$x_0^3 = 1$
Отсюда находим $x_0$:
$x_0 = 1$

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания, найдем производную функции $y(x)$.
Функция: $y = 3x^3 - 1$
Её производная $y'$ находится по правилам дифференцирования:
$y' = (3x^3 - 1)' = (3x^3)' - (1)' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 0 = 9x^2$

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить значение производной в точке касания, то есть при $x_0 = 1$:
$k = y'(1) = 9 \cdot (1)^2 = 9 \cdot 1 = 9$

Ответ: 9