Номер 1493, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1493, страница 421.

Условие.

1493 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^3 - x + 1$ в точке пересечения его с осью Oy.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной этой функции в данной точке. По условию, нас интересует точка пересечения графика функции с осью $Oy$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью $Oy$.

Пересечение с осью ординат ($Oy$) происходит в точке, где абсцисса $x=0$. Найдем соответствующую ординату $y$, подставив $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^3 - 0 + 1 = 1$

Таким образом, точка пересечения графика с осью $Oy$ (и точка касания) имеет координаты $(0, 1)$. Нас интересует абсцисса этой точки: $x_0 = 0$.

2. Найдем производную функции.

Дана функция $y = x^3 - x + 1$. Найдем ее производную $y'$:

$y' = (x^3 - x + 1)' = (x^3)' - (x)' + (1)' = 3x^2 - 1$

3. Вычислим угловой коэффициент.

Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $x_0 = 0$ равен значению производной в этой точке:

$k = y'(x_0) = y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$