Номер 1498, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1498, страница 421.

Условие.

1498 Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x \ln 2x$, $x_0 = 0,5$;

2) $f(x) = 2^{-x}$, $x_0 = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $f(x) = x \ln(2x)$ в точке $x_0 = 0.5$ найдем все необходимые компоненты.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(0.5) = 0.5 \cdot \ln(2 \cdot 0.5) = 0.5 \cdot \ln(1) = 0.5 \cdot 0 = 0$

Точка касания имеет координаты $(0.5, 0)$.

2. Производная функции $f(x)$. Используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, получим:

$f'(x) = (x)' \cdot \ln(2x) + x \cdot (\ln(2x))'$

Найдем производную от $\ln(2x)$, используя правило для сложной функции:

$(\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

Теперь подставим это в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(x) = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$

3. Значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(0.5) = \ln(2 \cdot 0.5) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=1$ и $x_0=0.5$ в общее уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0.5)$

$y = x - 0.5$

Ответ: $y = x - 0.5$.

2)

Для функции $f(x) = 2^{-x}$ в точке $x_0 = 1$ также используем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Точка касания имеет координаты $(1, \frac{1}{2})$.

2. Производная функции $f(x)$. Используем формулу для производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \cdot \ln(2) \cdot (-x)' = 2^{-x} \cdot \ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x}\ln(2)$

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{2}$

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=\frac{1}{2}$, $f'(x_0)=-\frac{\ln(2)}{2}$ и $x_0=1$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) \cdot (x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}x + \frac{\ln(2)}{2}$

$y = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$

Ответ: $y = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$.