Номер 1492, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1492, страница 421.

Условие.

1492 Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}}$, $x_0 = \frac{1}{4}$;

2) $f(x) = 2x^4 - x^2 + 4$, $x_0 = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) $f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}}$, $x_0 = \frac{1}{4}$

Сначала преобразуем функцию для удобства дифференцирования:

$f(x) = \frac{3}{4x \cdot x^{1/2}} = \frac{3}{4x^{3/2}} = \frac{3}{4}x^{-3/2}$

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$f(x_0) = f(\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{4})^{-3/2} = \frac{3}{4} \cdot (4)^{3/2} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt{4})^3 = \frac{3}{4} \cdot 2^3 = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$

Далее найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{3}{4}x^{-3/2})' = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{3}{2})x^{-3/2 - 1} = -\frac{9}{8}x^{-5/2}$

Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{9}{8} \cdot (\frac{1}{4})^{-5/2} = -\frac{9}{8} \cdot (4)^{5/2} = -\frac{9}{8} \cdot (\sqrt{4})^5 = -\frac{9}{8} \cdot 2^5 = -\frac{9}{8} \cdot 32 = -9 \cdot 4 = -36$

Теперь подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y = 6 + (-36)(x - \frac{1}{4})$

Упростим полученное уравнение:

$y = 6 - 36x + 36 \cdot \frac{1}{4}$

$y = 6 - 36x + 9$

$y = -36x + 15$

Ответ: $y = -36x + 15$

2) $f(x) = 2x^4 - x^2 + 4$, $x_0 = -1$

Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2 \cdot 1 - 1 + 4 = 2 - 1 + 4 = 5$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^4 - x^2 + 4)' = 8x^3 - 2x$

Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1) = 8(-1) + 2 = -8 + 2 = -6$

Подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-6)(x - (-1))$

Упростим полученное уравнение:

$y = 5 - 6(x + 1)$

$y = 5 - 6x - 6$

$y = -6x - 1$

Ответ: $y = -6x - 1$