Номер 1495, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1495, страница 421.

Условие.

1495 Прямая $y = 4x - 3$ является касательной к параболе $y = 6 - 2x + x^2$. Найти координаты точки касания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Даны уравнения прямой $y = 4x - 3$ и параболы $y = 6 - 2x + x^2$.

Точка касания является общей точкой для прямой и параболы, поэтому в этой точке их координаты $(x, y)$ совпадают. Чтобы найти эти координаты, необходимо приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений:

$4x - 3 = 6 - 2x + x^2$

Перепишем уравнение параболы в стандартном виде $y = x^2 - 2x + 6$ и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 4x + 6 + 3 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Условие касания означает, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку. Следовательно, полученное квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант уравнения $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$, где $a=1$, $b=-6$, $c=9$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Поскольку $D=0$, уравнение имеет один корень, что подтверждает факт касания. Найдем этот корень. Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда находим абсциссу (координату $x$) точки касания:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Теперь найдем ординату (координату $y$) точки касания, подставив найденное значение $x = 3$ в уравнение прямой (это проще, чем в уравнение параболы):

$y = 4x - 3 = 4(3) - 3 = 12 - 3 = 9$

Таким образом, координаты точки касания — $(3; 9)$.

Ответ: $(3; 9)$.