Номер 1501, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1501, страница 421.

Условие.

1501 Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = \frac{2}{3} \cos \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ в точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

$\tan(\alpha) = f'(x_0)$

В нашем случае дана функция $y = \frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ и точка с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдем производную функции $y(x)$.

Это сложная функция, поэтому для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$y'(x) = \left(\frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)'$

Производная внутренней функции равна $(3x - \frac{\pi}{6})' = 3$.

Подставим это в выражение для производной:

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot 3 = -2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значение $x_0$ в найденную производную:

$y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)$

Используем формулу приведения $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$:

$y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

3. Найдем искомый угол.

Мы установили, что тангенс угла наклона касательной равен -1:

$\tan(\alpha) = -1$

Угол наклона касательной к оси $Ox$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Этот угол $\alpha$ обычно ищется в промежутке $[0, \pi)$ (или от $0°$ до $180°$).

Решением уравнения $\tan(\alpha) = -1$ в указанном промежутке является угол:

$\alpha = \frac{3\pi}{4}$

В градусах это составляет $\frac{3 \cdot 180°}{4} = 135°$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$