Номер 1508, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1508, страница 422.

Условие.

1508 $y = \sin x + 2\sqrt{2} \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sin x + 2\sqrt{2} \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему.

1. Найдём производную функции

Производная функции $y(x)$ вычисляется по правилам дифференцирования суммы и произведения:

$y' = (\sin x + 2\sqrt{2} \cos x)' = (\sin x)' + (2\sqrt{2} \cos x)' = \cos x - 2\sqrt{2} \sin x$.

2. Найдём критические точки

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies \cos x - 2\sqrt{2} \sin x = 0$.

Перенесем слагаемое и выразим тангенс:

$\cos x = 2\sqrt{2} \sin x$.

Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$1 = 2\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Критическая точка $x_0 = \arctan\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$. Поскольку значение тангенса положительно, угол $x_0$ находится в первой четверти, т.е. $x_0 \in (0, \frac{\pi}{2})$, а значит, эта точка принадлежит заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

3. Вычислим значения функции в найденной точке и на концах отрезка

Теперь необходимо вычислить значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ и в критической точке $x_0$.

Значение на левом конце отрезка, при $x=0$:

$y(0) = \sin(0) + 2\sqrt{2} \cos(0) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$.

Значение на правом конце отрезка, при $x=\frac{\pi}{2}$:

$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1$.

Значение в критической точке $x_0$. Зная, что $\tan(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$, найдем $\sin(x_0)$ и $\cos(x_0)$ с помощью тригонометрических тождеств. Из тождества $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ имеем:

$\cos^2(x_0) = \frac{1}{1 + \tan^2(x_0)} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$.

Так как $x_0 \in [0; \frac{\pi}{2}]$, значение косинуса положительно: $\cos(x_0) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Тогда синус равен: $\sin(x_0) = \sqrt{1 - \cos^2(x_0)} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Подставляем найденные значения в исходную функцию:

$y(x_0) = \sin(x_0) + 2\sqrt{2} \cos(x_0) = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

4. Выберем наибольшее и наименьшее значения

Мы получили три значения функции: $2\sqrt{2}$, $1$ и $3$.

Сравним их. Так как $\sqrt{8} < \sqrt{9}$, то $2\sqrt{2} < 3$. Также очевидно, что $1 < 2\sqrt{2}$. Таким образом, $1 < 2\sqrt{2} < 3$.

Наименьшее из полученных значений равно $1$.

Наибольшее из полученных значений равно $3$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ равно $1$, а наибольшее значение равно $3$.