Номер 1491, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1491, страница 421.

Условие.

1491 Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x)=\frac{1}{4x^2}-\sqrt{x}$, $x_0=1$;

2) $f(x)=2x\sqrt{x}$, $x_0=\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется через тангенс этого угла, который равен значению производной функции в этой точке: $ \tan(\alpha) = f'(x_0) $

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде степеней: $ f(x) = \frac{1}{4}x^{-2} - x^{\frac{1}{2}} $

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем: $ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2)x^{-2-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} $

Перепишем производную в более привычном виде: $ f'(x) = -\frac{1}{2x^3} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $ f'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^3} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 $

Тангенс угла наклона касательной равен $-1$: $ \tan(\alpha) = -1 $

Угол, тангенс которого равен $-1$, составляет $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан.

Ответ: $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = 2x\sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Представим функцию в виде степени для упрощения дифференцирования: $ f(x) = 2x \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{1+\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} $

Найдем производную функции: $ f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x} $

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$: $ f'(\frac{1}{3}) = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $

Итак, тангенс угла наклона касательной равен $\sqrt{3}$: $ \tan(\alpha) = \sqrt{3} $

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Ответ: $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$.