Номер 1538, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1538, страница 424.

Условие.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1538—1542).

1538 1) $y = \sqrt{x-1}$, $y = 3-x$, $y = 0$;

2) $y = -\frac{1}{x}$, $y = x^2$, $y = \frac{x^2}{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x-1}$, $y=3-x$ и $y=0$ (ось Ox), сперва найдем точки пересечения этих линий.

1. Найдем точки пересечения графиков функций друг с другом:

• Пересечение $y=\sqrt{x-1}$ и $y=0$: $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.

• Пересечение $y=3-x$ и $y=0$: $3-x=0 \implies x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

• Пересечение $y=\sqrt{x-1}$ и $y=3-x$: $\sqrt{x-1} = 3-x$. Возведем обе части в квадрат (при условии $3-x \ge 0$, то есть $x \le 3$): $x-1 = (3-x)^2$ $x-1 = 9 - 6x + x^2$ $x^2 - 7x + 10 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1=2$ и $x_2=5$. Корень $x_2=5$ не удовлетворяет условию $x \le 3$, поэтому он является посторонним. Проверяем корень $x=2$: $\sqrt{2-1} = 1$ и $3-2=1$. Корень верный. Точка пересечения $(2, 1)$.

Таким образом, фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Сверху фигура ограничена графиком $y=\sqrt{x-1}$ на промежутке $[1, 2]$ и графиком $y=3-x$ на промежутке $[2, 3]$.

Площадь фигуры $S$ можно вычислить как сумму двух определенных интегралов:

$S = \int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx + \int_{2}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx = \int_{1}^{2} (x-1)^{1/2} \,d(x-1) = \left[ \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left[ (x-1)^{3/2} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} ( (2-1)^{3/2} - (1-1)^{3/2} ) = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{2}^{3} (3-x) \,dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = (3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}) - (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - 2) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$.

Сложим полученные значения:

$S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = x^2$ и $y = \frac{x^2}{8}$.

1. Найдем точки пересечения графиков функций:

• Пересечение $y = x^2$ и $y = -\frac{1}{x}$: $x^2 = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -1 \implies x = -1$. Точка пересечения $(-1, 1)$.

• Пересечение $y = \frac{x^2}{8}$ и $y = -\frac{1}{x}$: $\frac{x^2}{8} = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -8 \implies x = -2$. Точка пересечения $(-2, \frac{1}{2})$.

• Пересечение $y = x^2$ и $y = \frac{x^2}{8}$: $x^2 = \frac{x^2}{8} \implies 8x^2 - x^2 = 0 \implies 7x^2 = 0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

Фигура расположена во второй координатной четверти. Для $x \in [-2, 0]$ нижняя граница фигуры — это график функции $y = \frac{x^2}{8}$.

Верхняя граница состоит из двух частей:

• На промежутке $x \in [-2, -1]$ верхняя граница — это график функции $y = -\frac{1}{x}$.
• На промежутке $x \in [-1, 0]$ верхняя граница — это график функции $y = x^2$.

Поэтому площадь фигуры $S$ необходимо разбить на два интеграла:

$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) dx + \int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) dx = \left[ -\ln|x| - \frac{x^3}{24} \right]_{-2}^{-1} = (-\ln|-1| - \frac{(-1)^3}{24}) - (-\ln|-2| - \frac{(-2)^3}{24}) = (0 - \frac{-1}{24}) - (-\ln 2 - \frac{-8}{24}) = \frac{1}{24} + \ln 2 - \frac{8}{24} = \ln 2 - \frac{7}{24}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) dx = \int_{-1}^{0} \frac{7x^2}{8} dx = \frac{7}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{7}{24} [x^3]_{-1}^{0} = \frac{7}{24} (0^3 - (-1)^3) = \frac{7}{24} (0 - (-1)) = \frac{7}{24}$.

Теперь сложим полученные значения:

$S = \left(\ln 2 - \frac{7}{24}\right) + \frac{7}{24} = \ln 2$.

Ответ: $\ln 2$