Номер 1541, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1541, страница 424.

Условие.

1541 1) $y = 9 - x^2$, $y = (x - 1)^2 - 4$;

2) $y = x^2$, $y = \sqrt[3]{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 9 - x^2$ и $y = (x - 1)^2 - 4$, сначала найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем правые части уравнений:

$9 - x^2 = (x - 1)^2 - 4$

$9 - x^2 = x^2 - 2x + 1 - 4$

$9 - x^2 = x^2 - 2x - 3$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это и будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-2, 3)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 0$:

Для $y = 9 - x^2$: $y(0) = 9 - 0^2 = 9$.

Для $y = (x-1)^2 - 4$: $y(0) = (0-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Так как $9 > -3$, на интервале $[-2, 3]$ график функции $y = 9 - x^2$ находится выше графика функции $y = (x-1)^2 - 4$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{3} ((9 - x^2) - ((x-1)^2 - 4)) dx$

$S = \int_{-2}^{3} (9 - x^2 - (x^2 - 2x + 1 - 4)) dx$

$S = \int_{-2}^{3} (9 - x^2 - x^2 + 2x + 3) dx$

$S = \int_{-2}^{3} (-2x^2 + 2x + 12) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( -2\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 12x \right) \right|_{-2}^{3} = \left. \left( -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x \right) \right|_{-2}^{3}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(3)^3 + (3)^2 + 12(3)\right) - \left(-\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2)\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3}(27) + 9 + 36\right) - \left(-\frac{2}{3}(-8) + 4 - 24\right)$

$S = (-18 + 45) - \left(\frac{16}{3} - 20\right)$

$S = 27 - \left(\frac{16 - 60}{3}\right) = 27 - \left(-\frac{44}{3}\right) = 27 + \frac{44}{3} = \frac{81 + 44}{3} = \frac{125}{3}$.

Ответ: $\frac{125}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв их:

$x^2 = \sqrt[3]{x}$

Чтобы решить уравнение, возведем обе части в куб:

$(x^2)^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$x^6 = x$

$x^6 - x = 0$

$x(x^5 - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку, например, $x = \frac{1}{8}$:

Для $y = x^2$: $y(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$.

Для $y = \sqrt[3]{x}$: $y(\frac{1}{8}) = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} > \frac{1}{64}$, на интервале $[0, 1]$ график функции $y = \sqrt[3]{x}$ находится выше графика функции $y = x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/3} - x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( \frac{x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( \frac{3}{4}x^{4/3} - \frac{1}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left(\frac{3}{4}(1)^{4/3} - \frac{1}{3}(1)^3\right) - \left(\frac{3}{4}(0)^{4/3} - \frac{1}{3}(0)^3\right)$

$S = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.