Номер 1539, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1539, страница 424.

Условие.

1539 1) $y = 4x - x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$;

2) $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$;

3) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$;

4) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4x - x^2$, $y = 5$, $x = 0$ и $x = 3$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая — нижней на заданном промежутке $[0, 3]$.

Функция $y = 4x - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Значение функции в вершине: $y_v = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$. Поскольку вершина параболы находится в точке $(2, 4)$, а ветви направлены вниз, то на всем промежутке $[0, 3]$ (и вообще для любого $x$) выполняется неравенство $4x - x^2 \le 4$. Следовательно, линия $y=5$ находится выше графика функции $y = 4x - x^2$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{ниж}) dx$. В нашем случае $y_{верх} = 5$, $y_{ниж} = 4x - x^2$, $a = 0$, $b = 3$.

$S = \int_0^3 (5 - (4x - x^2)) dx = \int_0^3 (x^2 - 4x + 5) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 5x \right) \right|_0^3 = \left. \left( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right) \right|_0^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 5(3) \right) - (0) = \frac{27}{3} - 2 \cdot 9 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6$.

Ответ: 6

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$ и $x = 3$. Промежуток интегрирования — $[-1, 3]$.

Функция $y = x^2 - 2x + 8$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$. Значение функции в вершине: $y_v = 1^2 - 2(1) + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$. Минимальное значение функции равно 7. Следовательно, на всем промежутке $[-1, 3]$ график функции $y = x^2 - 2x + 8$ лежит выше прямой $y=6$.

Таким образом, $y_{верх} = x^2 - 2x + 8$, $y_{ниж} = 6$. Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^3 ((x^2 - 2x + 8) - 6) dx = \int_{-1}^3 (x^2 - 2x + 2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^3 = \left. \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right) \right|_{-1}^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 + 2(3) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1) \right) = (9 - 9 + 6) - (-\frac{1}{3} - 1 - 2) = 6 - (-\frac{1}{3} - 3) = 6 - (-\frac{10}{3}) = 6 + \frac{10}{3} = \frac{18 + 10}{3} = \frac{28}{3}$.

Ответ: $\frac{28}{3}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \pi$. Промежуток интегрирования — $[\frac{2\pi}{3}, \pi]$.

На промежутке $[\frac{2\pi}{3}, \pi]$ (вторая координатная четверть) значения функции синус неотрицательны, то есть $\sin x \ge 0$. Таким образом, график функции $y = \sin x$ лежит выше оси $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от функции $y = \sin x$ по заданному промежутку:

$S = \int_{2\pi/3}^{\pi} \sin x dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. (-\cos x) \right|_{2\pi/3}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{2\pi}{3})) = -(-1) + \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 + (-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Промежуток интегрирования — $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

На промежутке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ (первая и четвертая координатные четверти, близкие к оси Oy) значения функции косинус положительны, то есть $\cos x \ge 0$. Таким образом, график функции $y = \cos x$ лежит выше оси $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от функции $y = \cos x$ по заданному промежутку. Так как функция $y = \cos x$ является четной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \cos x dx = 2 \int_{0}^{\pi/6} \cos x dx$

Вычисляем интеграл:

$S = 2 \left. (\sin x) \right|_{0}^{\pi/6} = 2 (\sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(0)) = 2 (\frac{1}{2} - 0) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1