Номер 1543, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1543, страница 424.

Условие.

1543 Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

2) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$, $x_0 = 3$;

4) $y = \frac{\cos x}{\sin x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x)' = (x^3)' - (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' = 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 = 3x^2 - x + 1$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{3}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{1}{3}) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1 = 1$.

Ответ: $1$

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \ln x$ и $v = x$.

Производные $u'$ и $v'$ равны: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$, $v' = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2}$.

Так как $\ln 1 = 0$, получаем:

$f'(1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$.

Ответ: $1$

3) Дана функция $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$ и точка $x_0 = 3$.

Перепишем функцию, используя степени: $f(x) = x^{-3} - 2x^{-2} + 3x$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-3})' - (2x^{-2})' + (3x)' = -3x^{-3-1} - 2(-2)x^{-2-1} + 3 = -3x^{-4} + 4x^{-3} + 3$.

Запишем производную в виде дробей для удобства вычислений: $f'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{4}{x^3} + 3$.

Подставим значение $x_0 = 3$:

$f'(3) = -\frac{3}{3^4} + \frac{4}{3^3} + 3 = -\frac{3}{81} + \frac{4}{27} + 3 = -\frac{1}{27} + \frac{4}{27} + 3$.

Упростим выражение:

$f'(3) = \frac{-1+4}{27} + 3 = \frac{3}{27} + 3 = \frac{1}{9} + 3 = \frac{1}{9} + \frac{27}{9} = \frac{28}{9}$.

Ответ: $\frac{28}{9}$

4) Дана функция $y = \frac{\cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Функцию можно записать как $y = \cot x$. Производная котангенса равна $y' = - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Этот же результат можно получить, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(\frac{\pi}{4}) = - \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение в производную:

$y'(\frac{\pi}{4}) = - \frac{1}{1/2} = -2$.

Ответ: $-2$