Номер 1550, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1550, страница 425.

Условие.

Найти производную функции (1550—1553).

1550 1) $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$

2) $y = \frac{6x \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходная функция: $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$.
Для того чтобы найти производную, сначала упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $x^3$. Это позволит избежать использования сложного правила дифференцирования частного.
$y = \frac{x^5}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{3}{x^3}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$y = x^{5-3} - 3x^{3-3} + 2x^{2-3} - x^{1-3} + 3x^{-3}$
$y = x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3}$
Теперь мы можем найти производную как сумму производных отдельных слагаемых, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и тот факт, что производная константы равна нулю.
$y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3})$
$y' = (x^2)' - (3)' + (2x^{-1})' - (x^{-2})' + (3x^{-3})'$
$y' = 2 \cdot x^{2-1} - 0 + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1}$
$y' = 2x - 2x^{-2} + 2x^{-3} - 9x^{-4}$
Для удобства вернемся к записи с дробями:
$y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$
Ответ: $y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.

2) Исходная функция: $y = \frac{6x\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$.
Для нахождения производной сначала упростим функцию, представив корни в виде степеней с дробными показателями.
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$y = \frac{6x^1 \cdot x^{1/3}}{x^{1/2}}$
Используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$y = \frac{6x^{1 + 1/3}}{x^{1/2}} = \frac{6x^{4/3}}{x^{1/2}}$
$y = 6x^{4/3 - 1/2}$
Приведем показатели к общему знаменателю 6:
$y = 6x^{8/6 - 3/6} = 6x^{5/6}$
Теперь найдем производную полученной степенной функции по правилу $(ax^n)' = a \cdot n x^{n-1}$:
$y' = (6x^{5/6})' = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{5/6 - 1}$
$y' = 5x^{5/6 - 6/6} = 5x^{-1/6}$
Запишем результат, используя знак корня:
$y' = \frac{5}{x^{1/6}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$
Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$.