Номер 1554, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1554, страница 425.

Условие.

1554 Найти значения $x$, для которых производная функции $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ равна $-1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значения $x$, для которых производная функции равна -1, необходимо выполнить два основных шага: найти производную функции $f(x)$ и затем решить уравнение $f'(x) = -1$.

1. Нахождение производной функции

Исходная функция: $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$.

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена.

$f(x) = (x^2 - 2x - x + 2)(x-3) = (x^2 - 3x + 2)(x-3)$

$f(x) = x(x^2 - 3x + 2) - 3(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6$

Сложив подобные члены, получаем:

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3)' - (6x^2)' + (11x)' - (6)'$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$

2. Решение уравнения $f'(x) = -1$

Согласно условию задачи, производная функции должна быть равна -1. Составим и решим уравнение:

$3x^2 - 12x + 11 = -1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения:

$3x^2 - 12x + 11 + 1 = 0$

$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=2$.

$(x - 2)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна -1 только при значении $x=2$.

Ответ: 2.