Номер 1557, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1557, страница 425.

Условие.

1557 Найти значения $x$, при которых $f'(x) \leq g'(x)$, если $f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$, $g(x) = x\sqrt{3} + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем решить неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$.

Используя правила дифференцирования для степенной функции и суммы функций, получаем:

$f'(x) = (x^3)' + (x^2)' + (x\sqrt{3})' = 3x^2 + 2x + \sqrt{3}$

2. Найдем производную функции $g(x) = x\sqrt{3} + 1$.

Производная этой функции равна:

$g'(x) = (x\sqrt{3})' + (1)' = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$

3. Теперь решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

Подставим найденные выражения для производных в неравенство:

$3x^2 + 2x + \sqrt{3} \le \sqrt{3}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 + 2x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \le 0$

$3x^2 + 2x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 2) \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x(3x + 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3x + 2 = 0$, откуда $x_2 = -\frac{2}{3}$.

Графиком функции $y = x(3x+2) = 3x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля). Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-\frac{2}{3}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; 0]$.