Номер 1551, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1551, страница 425.

Условие.

1551 1) $y=\frac{3x^2-2x+1}{x+1}$;

2) $y=\frac{2x^2-3x+1}{2x+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения производной функции $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$ необходимо использовать правило дифференцирования частного (дроби), которое имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, пусть $u(x) = 3x^2 - 2x + 1$ и $v(x) = x + 1$.

Сначала найдем производные числителя $u'(x)$ и знаменателя $v'(x)$:
$u'(x) = (3x^2 - 2x + 1)' = 3 \cdot (x^2)' - 2 \cdot (x)' + (1)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 1 + 0 = 6x - 2$.
$v'(x) = (x + 1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(6x - 2)(x + 1) - (3x^2 - 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$.

Далее, упростим выражение в числителе. Раскроем скобки:
$(6x - 2)(x + 1) = 6x^2 + 6x - 2x - 2 = 6x^2 + 4x - 2$.
Тогда числитель примет вид:
$(6x^2 + 4x - 2) - (3x^2 - 2x + 1) = 6x^2 + 4x - 2 - 3x^2 + 2x - 1$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(6x^2 - 3x^2) + (4x + 2x) + (-2 - 1) = 3x^2 + 6x - 3$.

Таким образом, производная функции равна:
$y' = \frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2}$.

2)

Для нахождения производной функции $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1}$ также воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 2x^2 - 3x + 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2x^2 - 3x + 1)' = 2 \cdot (x^2)' - 3 \cdot (x)' + (1)' = 2 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 0 = 4x - 3$.
$v'(x) = (2x + 1)' = 2 \cdot (x)' + (1)' = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Подставляем найденные производные в формулу:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(4x - 3)(2x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$.

Упростим числитель, раскрыв скобки:
$(4x - 3)(2x + 1) = 8x^2 + 4x - 6x - 3 = 8x^2 - 2x - 3$.
$2(2x^2 - 3x + 1) = 4x^2 - 6x + 2$.
Теперь вычтем второе из первого в числителе:
$(8x^2 - 2x - 3) - (4x^2 - 6x + 2) = 8x^2 - 2x - 3 - 4x^2 + 6x - 2$.

Приведем подобные слагаемые:
$(8x^2 - 4x^2) + (-2x + 6x) + (-3 - 2) = 4x^2 + 4x - 5$.

В результате получаем производную:
$y' = \frac{4x^2 + 4x - 5}{(2x + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4x^2 + 4x - 5}{(2x + 1)^2}$.